rotating source in Galileo coordinate?

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When wavelength fixed, frequency is proportional to velocity

完全競爭市場示意圖

 完全競爭市場示意圖

在規模報酬不變的產品市場

上圖為單一廠商的短期成本曲線,
當各廠商生產函數均相同時,水平加總成為水平放大

黑色:單一廠商的短期成本曲線
藍色: 兩個廠商(或2倍資本)水平加總後的短期總合成本曲線
綠色: 多個廠商(或多倍資本)水平加總後的短期總合成本曲線
當市場分別只有1家,2家或多家廠商,黑,藍,綠色SMR和AD分別交於黑,藍,綠點,
黑,藍點>黑藍SAC,正利潤,市場外廠商考慮進入生產(或增資)
綠點<綠SAC,負利潤,市場內廠商考慮退出生產(或減資)
紫色: SMR和AD交點=SAC,零利潤,市場均衡

極值與鞍點

 

 極值與鞍點

(一)單變數函數

Taylor展開式: F(x)=F(k)+F'(k)(x-k)+F"(k)/2! (x-k)^2+F'''(k)/3! (x-k)^3+......

當F(k+dk)=F(k)+F'(k)dk+F"(k)/2! dk^2+F'''(k)/3! dk^3+......
若F在x=k處有極值須F'(k)=0(稱臨界點)且(F(k+dk)-F(k))(F(k-dk)-F(k))>0
當dk->0則dk<<(dk)^2<<(dk)^3<<.......
則F(k+dk)-F(k)=F"(k)/2! dk^2+F'''(k)/3! dk^3+......
若其中F'''''(k)為第一項>0者,則
F(k+dk)-F(k) -> F'''''(k)/5! (dk)^5
F(k-dk)-F(k) -> F'''''(k)/5! (-dk)^5
(F(k+dk)-F(k))(F(k-dk)-F(k))-> (-1)^5 (F'''''(k)/5! (dk)^5)^2 <0 為反曲點
所以當第一個>0的是2n階導數時(-1)^(2n)>0才有極值,該導數>0為極小值,<0為極大值

(二)三變數函數

dF(x,y,z)=Fx dx + Fy dy + Fz dz
dFx=Fxx dx + Fxy dy + Fxz dz
dFy=Fyx dx + Fyy dy + Fyz dz
dFz=Fzx dx + Fzy dy + Fzz dz

ddF(x,y,z)=(dFx dx + dFy dy + dFz dz) + (Fx ddx + Fy ddy + Fz ddz)
dFx dx = Fxx dx^2 + Fxy dxdy + Fxz dxdz
dFy dy = Fyx dxdy + Fyy dy^2 + Fyz dzdy
dFz dz = Fzx dxdz + Fzy dydz + Fzz dz^2

從(x,y,z)沿著(A,B,C)方向移動dt時,dx=Adt, dy=Bdt, dz=Cdt,
dF= (AFx+BFy+CFz) dt
ddF= (A^2 Fxx + B^2 Fyy + C^2 Fzz + 2AB Fxy + 2AC Fxz + 2BC Fyz) (dt)^2 + (AFx+BFy+CFz)(ddt)

欲求F''(t)時,須等距移動ddt=0
ddF/(dt)^2= (A^2 Fxx + B^2 Fyy + C^2 Fzz + 2AB Fxy + 2AC Fxz + 2BC Fyz)
( 此即[A,B,C]T [Hessian] [A,B,C] )

極值出現處必須 Fx=Fy=Fz=0, dF/dt=AFx+BFy+CFz=0, 稱為臨界點
若在某(A,B,C)下此處
F''(t) >0,則為延(A,B,C)移動之極小值,
F''(t) <0,則為延(A,B,C)移動之極大值,
F''(t) =0,則還要看更高階微分為決定

dddF/(dt)^3= (A^3 Fxxx+B^3 Fyyy+ C^3 Fzzz+6ABC Fxyz+3A^2B Fxxy+3A^2C Fxxz+3B^2C Fyyz+3AB^2 Fxyy+3AC^2 Fxzz+3BC^2 Fyzz)

(三)雙變數函數

F(x,y)時,延(A,B,C)移動之
F'(t)  = AFx+BFy
F''(t) = Fxx A^2 + 2 Fxy AB + Fyy B^2
欲知是否可能在某種(A,B)方向移動F''(t)=0,要看其有無實數解
A/B=[-Fxy +- (Fxy^2-FxxFyy)^0.5]/Fxx
Fxy^2-FxxFyy<0 則不論何(A/B)皆不會使F''(t)=0,
  若Fxx>0,F''(t)恆大於0,有最小值;若Fxx<0,F''(t)恆小於0,有最大值
Fxy^2-FxxFyy>0 則某些(A/B)使F''(t)<0,某些使>0, 該處為鞍點
Fxy^2-FxxFyy=0 則有一(A,B)使F''(t)=0, 要看更高階微分為決定