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2012年10月20日星期六

物資流動圖

物資流動圖

維持勞動力及資本存量之成本包括薪資,借貸利率及資本折舊(衰減)成本

Straitified utility function of consumer

Utility means conception of brains to stimuli of various products
via external sensory receptors(visual, auditory, olfactory, taste, .....)
and internal receptors to sense body composition(sugar, osmolality, effective circulating volume...)
There are plenty of neural conection to integrate these stimuli to a single aggregate utility.

Assume:
Product P1,P2,.......,Pm with consuming amount Q1,Q2,.......,Qm
substitutible functional pre-utilities: food(S1), cloth(S2), house(S3), .... , recreation(Sn)

each product Pj contributes Si with Aij x Qj

Matrix Aij
A11 A12..A1j...A1m
A21 A22..A2j...A2m
.....
Ai1 Ai2..Aij...Aim
.....
An1 An2..Anj...Anm

Then, consuming matrix Q, pre-utility matrix S, Matrix Aij, have relation
A x Q = S

apply Cobb-Douglas function to S , then
aggregate U = c S1^k1 S2^K2 ..... Sn^Kn

furthermores, input-output model for producing sectors may be applied to
neural "utility sectors" to deal with various intermediate "utility products"

2012年10月19日星期五

Cobb–Douglas生產函數最佳淨產出

Cobb–Douglas生產函數F = c K^a L^b
令借貸利率i, 資本折舊(自然衰減)率j,單位勞工薪資W
資本存量成本包括利息成本iK和資本折舊(自然衰減)成本jK
勞工成本WL

淨產出獲利Y = 總產出 - 總成本 = f - (i+j)K - WL
dY = dF - (i+j)dK - W dL
而dF = Fk dK + Fl dl (Fk表F對K之偏微分,Fl表F對L之偏微分)
帶入則 dY = (Fk-(i+j)) dK + (Fl-W) dL
故若要使Y達極值, 需找出K,L使 Fk=(i+j);Fl=W 二者皆要成立

Cobb–Douglas生產函數之 Fk = (a/K)F , Fl = (b/L)F
K=(a/(i+j))F, L=(b/W)F 代回 F = c K^a L^b
F= c (a/(i+j))^a (b/W)^b F^(a+b)
得極值下之F
F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^(a/(1-a-b)) (b/W)^(b/(1-a-b))
K=(a/(i+j))F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^((1-b)/(1-a-b)) (b/W)^(b/(1-a-b))
L=(b/W)F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^(a/(1-a-b)) (b/W)^((1-a)/(1-a-b))

此時
資金成本 aF 其中利率成本 [ai/(i+j)] F 資本折舊成本 [aj/(i+j)] F
勞工工資成本 bF
總成本 (a+b)F
生產單位可獲取利潤(淨產出)Y = F- (a+b)F = (1-a-b)F

那此F為最大或最小值呢?
a+b>1時該值為同成本下F最大,但不同成本下F最小值(Y,K,L之3D圖呈馬鞍形)
a+b<1時該值為F為最大值,即最佳狀況

當市場需求超越或不足此F時, (成本之物資不一定從自產成品來)
等生產(F)線須滿足: Fk dK + Fl dL
等成本線須滿足: (i+j)dK - W dL
二者相切之處: (a/K)/(i+j)=(b/L)/W 令其=r
=> K= [a/(i+j)]r, L= [b/W]r, 總成本=(a+b)r ,
F= c [a/(i+j)]^a [b/W]^b r^(a+b) = c [a/(i+j)]^a [b/W]^b (a+b)^(-(a+b)) (總成本)^(a+b)

此時 r= c^(1/(a+b)) [a/(i+j)]^(a/(a+b)) [b/W]^(b/(a+b)) F^(1/(a+b))
令 s=c [a/(i+j)]^a [b/W]^b => r= (sF)^(1/(a+b))
資金成本 a(sF)^(1/(a+b)) 其中利率成本 [ai/(i+j)] (sF)^(1/(a+b)) 資本折舊成本 [aj/(i+j)] (sF)^(1/(a+b)) 勞工工資成本 b(sF)^(1/(a+b)) 總成本 (a+b)(sF)^(1/(a+b))
生產單位可獲取利潤(淨產出)Y = F- (sF)^(1/(a+b))

dY/d(成本) = dF/d(成本) -1 = dF/d[(a+b)r] = c [a/(i+j)]^a [b/W]^b r^(a+b-1) -1
故a+b<1 (Y''<0) 曲線凹向下,Y有最大值,a+b>1(Y''>0)曲線凹向上,
當a+b=1 (Y''=0) Y為直線

橫軸為r, F=c'r^(a+b), 成本=(a+b)r

當a+b>1, r越大成本佔率越低,生產單位純益佔率越高
當a+b<1, r越大成本佔率越高,生產單位純益佔率越低
當a+b=1, r越大,成本佔率及生產單位純益佔率固定

當a+b=1則利率i=aF/K-j,K太大會讓實質利率i變負的

需求為波動時

當各時間點競爭市場需求為波動時,
假定Q=cK^0.5 L^0.5, Q(t)=Q0 (cos(ht))^2,(Q在0-1之間波動,平均0.5)
C = rK + wL,
單位K(元),L(人),r(貨/元-月),w(貨/人-月),C(貨/月),Q0(貨/月),c(貨/月-(元-人)^0.5), h(/月)
預選定長期(T->∞)不動之K使平均成本t=0~T,(∫(C dt))/T 最低
L(t)=(Q/c)^2/K= (Q0/c)^2 (cos(ht))^4/K
又 (T->∞)則(∫[(cos(ht))^4 d(ht)])/(hT) = 3/8
(∫(C dt))/T= (∫(rK + wL)dt)/T = rK + w/K (Q0/c)^2(∫[(cos(ht))^4 dt])/T = rK + 3/8 (Q0/c)^2 w/K
d( rK + 3/8 w/K )/dK= r - 3/8 (Q0/c)^2 w/K^2 =0 則 K= (Q0/c) (3w/(8r))^0.5

在非波動下,(Q=0 則 K=0),(Q=0.5Q0 則 K=0.25Q0/r),(Q=Q0 則 K=0.5Q0/r),
同樣平均Q=0.5Q0下,波動K/非波動K=((3w/(8r))^0.5/c)/(0.25/r)=(6rw/c^2)^0.5
rw> c^2/6則波動K>非波動K,rw < c^2/6則波動K<非波動K

非波動下 AC=rK+wL=0.5Q0
波動下AC= rK+ 3/8 (Q0/c)^2 w/K = (Q0/c)(3wr/8)^0.5 + (Q0/c)(3rw/8)^0.5 = 0.5 (Q0/c)(6rw)^0.5
rw < c^2/6則波動總成本下降,生產者有盈餘

2012年10月12日星期五

經濟筆記

(一)梭羅模型-1

令生產函數 f=cK^a L^b, 儲蓄(投入資本)比例s 資本衰減率 j
K'(t) = sf - jK = scK^a L^b - jK
生產盈餘Y=(1-s)cK^a L^b

最大K值時 scK^a L^b = jK ; K= (sc/j L^b)^(1/(1-a))
生產盈餘Y=(1-s)c K^a L^b = (1-s)c(sc/j L^b)^(a/(1-a)) L^b
= (1-s)s^(a/(1-a)) c^(1/(1-a)) L^(b/(1-a)) /j^(a/(1-a))
當Y'(s)=0 => -f + (1-s)[a/(1-a)]f/s =0
=> (1-s)a/(1-a)/s=1 => s=a
儲蓄率為a時有最大盈餘Y= (1-a)a^(a/(1-a)) c^(1/(1-a)) L^(b/(1-a))/j^(a/(1-a))

K(t)隨時間之變化:
dK/dt +jK = scK^a L^b
=> (1-a)scL^b = (1-a)K^(-a)dK/dt + (1-a)jK^(1-a) = d(K^(1-a))/dt + (1-a)jK^(1-a)
令K(t)^(1-a)=G(t) => dG/dt + (1-a)iG = (1-a)scL^b
d(G-scL^b/j)/dt + (1-a)j(G-scL^b/j)=0
=> G(t)= Xe^((a-1)jt) + scL^b/j (X為常數)
K(t)=G(t)^(1/(1-a))= (Xe^((a-1)jt) + scL^b/j)^(1/(1-a))
又t=0時K0=(X + scL^b/j)^(1/(1-a)) => X= K0^(1-a)-scL^b/j
K(t)= (K0^(1-a)e^((a-1)jt) + scL^b/j(1-e^((a-1)jt)))^(1/(1-a))
f(t)= cL^b (K0^(1-a)e^((a-1)jt) + scL^b/j(1-e^((a-1)jt)))^(a/(1-a))
(若K0接近0,當a>0.5時a/(1-a)>1此時f(t)存在凹凸轉折點t=ln(a/(1-a))/[(1-a)j]使f''(t)=0
於該處達最大成長f'(t))

當a<1,t->無限大 => K= (scL^b/j)^(1/(1-a))
預找出s=1下達最佳K(該時s=a)之時間t
=> (Xe^((a-1)jt) + cL^b/j)^(1/(1-a))=(acL^b/j)^(1/(1-a))
=> e^((a-1)jt) =(a-1)cL^b/j / (K0^(1-a)-acL^b/j) = (1-a)/(a-(j/(cL^b))K0^(1-a))
t= [ln(a-(j/(cL^b))K0^(1-a))-ln(1-a)]/(1-a)

(二)梭羅模型-2

當生產函數f未知儲蓄(投入資本)比例S 資本衰減率j
K'(t) = Sf - jK 生產盈餘Y=(1-S)f

K達最大時K'=0 => Sf - jK =0 => d (lnS + lnf - lnK)= d lnj =0
=> d(lnS) = (dlnK/dlnf - 1) d(lnf)
當Y'=0 => d (ln(1-S) + lnf)=0 => [-S/(1-S) dlnS] + d(lnf) =0
=> d(lnS) = (1/S -1) d(lnf)

合併兩式 S=d(lnf)/d(lnK) (d(lnf)/d(lnK)為邊際資本生產彈性)
=> 當 S=K/f df/dK 時, 生產盈餘Y可得最大值

(帶入f=cK^a L^b則可得 S=a)

(三)梭羅模型與人口及技術成長

若勞力成長率g, L=L0 e^(gt)
K(t)=(X e^((a-1)jt) + sc/(j+bg/(1-a)) L0^b e^(bgt))^(1/(1-a))

又若技術成長率n, C=C0 e^(nt)
Y=CK^aL^b=(C0L0^b)e^[(n+bg)t] K^a
dK/dt=sY-jK=(sC0L0^b)e^[(n+bg)t] K^a-jK
dK^(1-a)/dt=(1-a)K^(-a) dK/dt=(s(1-a)C0L0^b)e^[(n+bg)t]-(1-a)jK^(1-a)
令U=(s(1-a)C0L0^b),V=(1-a)j
dK^(1-a)/dt+VK^(1-a)=U e^[(n+bg)t]
d[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]/dt+V[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]
=dK^(1-a)/dt+VK^(1-a)+[-w(n+bg+V)]e^[(n+bg)t]
=U e^[(n+bg)t]-w(n+bg+V)e^[(n+bg)t]=[U-w(n+bg+V)]e^[(n+bg)t]

當w=U/(n+bg+V)=(sC0L0^b)/(j+(n+bg)/(1-a))時,
d[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]/dt+V[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]=0
[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]=Xe^(-Vt) (X為常數)
則K(t)=[Xe^(-Vt)+we^[(n+bg)t]]^(1/(1-a))
K(t)=[Xe^((a-1)jt)+(sC0)/(j+(n+bg)/(1-a)) L0^b e^[(n+bg)t]]^(1/(1-a))
(以(n+bg)及C0取代無技術成長時bg及C即可)

Yk=(aC0L0^b)e^[(n+bg)t] K^(a-1)=a/[X1 e^(-(n+bg+(1-a)j)t)+s/(j+(n+bg)/(1-a))]
當t非常大且a+b=1時,Yk=a/[s(j+(n+bg)/(1-a))]=a/[s(j+n/b+g)]

圖化算式:

人口成長率g的固定規模報酬函數:

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2012年10月10日星期三

從需求到價格: Inter-sector input output analysis

從需求到價格(From demand to price): Inter-sector input output analysis

假定:
單位商品(半成品)有n種其總產出單位數 X1 X2 X3 ..... Xn
市場價格P1.....Pn
單位製程有m種其總使用單位數 Y1 Y2 Y3 ..... Ym
分別形成 (n x 1) 之 X及P矩陣和 (m x 1) 之 Y矩陣

單位製程j 使用各種原料i之量Aij Xi 生產出各種i之量Bij
分別形成 (n x m) 之 Aij 和 Bij矩陣

A11 A12..A1j...A1m
A21 A22..A2j...A2m
.....
Ai1 Ai2..Aij...Aim
.....
An1 An2..Anj...Anm

可計算出總產出X=BY 總耗用 AY
得出(n x 1)之盈餘需求矩陣D = (B-A)Y = X-AY 供資本投入及終端消費使用
各單位製程之成本矩陣 (A')P 收入矩陣 (B')P
價差(附加價值value added)矩陣 V = (B'-A')P = ((B-A)')P皆為(m x 1)

關於D = (B-A)Y
由於不同製程可產生相同產品(不同飼料都可以養豬),
同一製程也可產生不同副商品(如一頭豬不同部位可以分售)
即使同樣之需求D矩陣,同樣之產出B及耗用A矩陣可能有不同之Y會符合
但生產者會傾向價差(附加價值)較低之製程
而同樣製程若價差越大,如同供應曲線一般.生產者也會傾向執行更多單位該製程
此彈性關聯會反映在製程使用矩陣Y與價差矩陣V之間
假定此彈性關聯如電路中之電阻倒數一般,係數分別為C1,C2.....,Cm
形成(m x m)之製程意願矩陣C (若製程m耗用及產出皆放大3倍,Cm應變1/9Cm)
C1 0 .... 0
0 C2 .... 0
....
0 0 ....Cm
而使 Y = C V
代入前面2式
D = (B-A)Y = (B-A) C V = [(B-A) C ((B-A)')]P
價格矩陣 P = [(B-A) C ((B-A)')]^(-1) D
在已知各製程耗用及產出和生產者製程意願下,由市場需求量可以解出各商品價格

如同電路一般,並聯時電流會傾向走電阻較小的路徑,但電阻較大的路徑仍會有電流,
價格(Price)相當於電動勢(Voltage),貨物流量相當於電流(current),
而最終消費者的需求(demand)相當於電池(battery)賦予各種商品價格與電動勢

當然該關聯矩陣C可能會有不同模式如毛利率或總獲利......
特殊形態: 當每種商品只有唯一製程,製造過程亦不產生副商品時,
m=n使A和B成為(n x n)方陣

2012年8月31日星期五

Fractional Flow Reserve (FFR)

FFR的生理意義是對於某特定流域之心肌,
目前(有大血管狹窄下)血流/最大可能(排除大血管阻力後)血流

Aorta-> coronary artery -> microvasculature -> cardiac vein -> right atrium

在沒有大血管(冠狀動脈)狹窄的情況下主要的阻力在microvasculature(包括arteriole,capilary)

假定分布於某特定流域之心肌,
其冠狀動脈有一段狹窄,該段阻力R,
而微小血管阻力最小值Rc(使用adenosine注射使微小血管充分擴張而達到),
靜脈壓力(Pv)相對極低接近於0

Pa -> R -> P1 -> Rc -> Pv(=0)
基於連通管任意斷面血流F相等 (Pa-P1)/R=(P1-Pv)/Rc=(Pa-Pv)/(R+Rc)=F
R=(Pa-P1)/F ; Rc=(P1-Pv)/F

目前血流F = (Pa-0)/(R+Rc)
最大可能血流Fmax: 當R經處理成為0 => Fmax= Pa/Rc
FFR = F/Fmax= Rc/(R+Rc) = (P1-0)/(Pa-0) = P1/Pa
Pa 可直接由導管測量, P1則需使用特製導線深入冠狀動脈狹窄後方作測量

FFR 若小於 0.75-0.8 表示目前血流僅剩最大血流之 0.75-0.8倍
Rc/(R+Rc)< 0.75-0.8 意即 R/Rc > 0.33-0.25
此時對此狹窄做處理較有可見之效果

那如果有2段狹窄而中間無大分支的狀況
Pa -> R1 -> P1 -> R2 -> P2 -> Rc -> Pv(=0)
(Pa-P1)/R1=(P1-P2)/R2=(P2-Pv)/Rc=(Pa-Pv)/(R1+R2+Rc)=F
R1=(Pa-P1)/F ;R2=(P1-P2)/F ; Rc=(P2-Pv)/F

兩段狹窄總阻力R=R1+R2, 總合FFR為 P2/Pa
R1 FFR(排除R2後)= Rc/(R1+Rc) = (P2-Pv)/(Pa-P1+P2-Pv) = P2/(Pa-P1+P2)
R2 FFR(排除R1後)= Rc/(R2+Rc) = (P2-Pv)/(P1-P2+P2-Pv) = P2/P1

2012年6月4日星期一

n objects within controlled bilateral vibration interconnected with (n+1) spring coils

n objects within controlled bilateral vibration interconnected with (n+1) spring coils
(all k/m substitutes with k here)

Xi'' = k Xi-1 -2k Xi + k Xi+1
X0, X n+1 were controlled vibration of cos & sin wave
X0 = Gj cos Wj t
Xn+1= Hj cos Wj t

let Xi be linear, Rij cos Wj t + Qij sin Wj t, composed of different j
Xi'' + 2k Xi = (2k-Wj^2)(Rij cos Wj t + Qij sin Wj t) = k Xi-1 + k Xi+1
k R(i+1)j - (2k-Wj^2) Rij + k R(i-1)j =0
consider characteristic kx^2 - (2k-Wj^2) x + k =0 , with x solution a, b

When Wj^2 > 4k => a,b belongs to Real number
Rij = Gj (a^(n+1-i) - b^(n+1-i)) / (a^(n+1) - b^(n+1)) + Hj (a^i - b^i) / (a^(n+1) - b^(n+1))
When Wj^2 =0 => a=b=1
Rij = Gj (n+1-i) / (n+1) + Hj i / (n+1)

When 0< Wj^2 < 4k => a,b belongs to Imaginery number
(Wj^2 - 2k) / 2k +- Wj x (Wj^2-4k)^0.5 /2k
-1 <(Wj^2 - 2k) / 2k <1
=> let cos Y = (Wj^2 - 2k) / 2k, sin Y = Wj (4k - Wj^2)^0.5 /2k
Rij = Gj sin ((n+1-i)Y) /sin ((n+1)Y) + Hj sin( iY) /sin( (n+1)Y)