正弦矩陣自為反矩陣

正弦矩陣自為反矩陣

Aij=sin ((ijπ)/(n+1)) 形成之n×n階矩陣,自乘後: A×A=(n+1)/2 I
可知任兩行向量之間垂直,任一行向量自乘=(n+1)/2

 非循環跳格位移矩陣拆解為多組特徵正弦矩陣

幾何看碰撞 (Geometric demonstration of collision)

幾何看碰撞 (Geometric demonstration of collision)

低速碰撞 (low velocity collision)

低速碰撞涉及之質量交換相對靜止質量非常小而可忽略,可假設質量不變,
因動量守恆故碰撞前後質心速度與動能不變,
而總動能=質心動能+內動能,動能守恆下內動能也不變,
又因質量比固定使二者內動能分配比率固定,故相對質心速度之內速度也不變,
碰撞前後之速度向量分別在質心速度為球心之球面上移動

碰撞作用軸機率

半徑分別為r1,r2之兩球碰撞時,
兩球心必須互相落在另一球心延相對速度方向為中心半徑R=r1+r2的圓柱內
碰撞作用軸為碰撞面之法向量,且通過2球心,若該向量與相對速度軸間角度θ,
碰撞機率與二球心在圓柱橫切面上投影距離Rsinθ有關
dθ間之碰撞機率正比於d(π(Rsinθ)^2)

碰撞後將分布到d2θ間之球表面積:
2πΔVsin2θ d(2θΔV)=d(4π(ΔVsinθ)^2)
兩者相除可知碰撞後之相對速度球面分布=(R/(2ΔV))^2與θ無關,
為球面上之均勻分布

高速碰撞 (high velocity collision)

高速碰撞涉及不可忽略之質量與能量交換,導致碰撞後與碰撞前之質量顯著改變,
在質量,動量與總動能守恆的條件下,一旦碰撞前質量與速度,碰撞作用力軸皆確定,
則碰撞後質量與速度只會有一組解,幾何圖示如下(圖中圓之半徑為光速)

證明則較複雜,圖示如下
光子質能同步轉移:

動量守恆使光子有進有出

特殊狀況: 光子間碰撞

 

 一般狀況:
碰撞前(綠)m1 v1, m3 v3 碰撞後(藍)分別成為 m2 v2 與 m4 v4
質心向量(紅),碰撞轉移向量(橘)

數學模式

精確勝算比(precise odds ratio)

精確勝算比(precise odds ratio)

案例:

AFP 一般來說正常不超過 20 ng/mL (因實驗室而異)
小甲和小乙打算篩檢肝癌而前往抽血驗AFP,
小甲驗出一個數值50,小乙驗出數值1000,
兩人都是同樣大於cutoff value的陽性結果,
他們的勝算比一樣嗎?

解析:

按照一般的粗略odds ratio,只考慮是否大於cutoff,
超過就是陽性(不論多高),沒超過就是陰性(不論多低),
據此來決定陽性和陰性odds ratio,
因此小甲和小乙的odds ratio同為陽性odds ratio,,
但臨床醫師看到50和1000兩個數字,
都會覺得1000那個數值讓勝算比大大增加

圖說勝算比

(本圖X軸數字與上面例子中AFP無關)


上圖紅線為病人數值分布,藍線為正常人數值分布,
線下面積表示該區間人數比率,
黑線為cut-off value(可能是透過ROC曲線決定出來),
粉紅區域表示病人出現陽性的比率,
淺藍區域表示正常人出現陽性的比率,
rough positive odds ratio 為粉紅區域/淺藍區域

小綠的綠線和小紫的紫線皆落在cut-off右邊,
被分做同類陽性,但看圖就知道,
綠線數值處紅/藍比(G/H)明顯大於紫線數值處(I/J),
也就是說小綠得病的勝算比應該明顯大於小紫,
數值線紅/藍比這才是精準的odds ratio

族群數值分布,測量誤差分布與族群測量值分布

測量誤差分布如上圖紅線分布,
若測量值分布是以抽樣樣本真實值為中心之常態分布,
反之可知樣本真實值機率分布為以測量值為中心之常態分布
族群抽樣測量值出現在u0附近du0範圍內之機率,
可由族群產生不同樣本真實值在x附近dx範圍發生之機率(藍分布),
乘上測量值uo發生而樣本真實值在x附近dx範圍之機率(紅分布),
然後對所有樣本真實值積分而得出族群測量值分布

精準勝算比(precise odds ratio) 公式 (常態分布)

圖解緩衝液 (buffer solution)

圖解緩衝液 (buffer solution)

HX1 -> H + X1
K1=[H][X1]/[HX1]
[HX1]/[X1]=[H]/K1
[T1]=[HX1]+[X1]
[HX1] = [H]/([H]+K1) [T1]
[X1]  = K1/([H]+K1) [T1]

任意平衡[H]時,buffer吸納之總酸量
[HX1]+[HX2]+...+[HXn]
= {[T1][H]/([H]+K1)+[T2][H]/([H]+K2)+...+[Tn][H]/([H]+Kn)}
可知當[H]>>K1時,該項吸納接近[T1],當[H]<<K1時,該項吸納接近0

又水之K0=10^(-14), [OH]=K0/[H]
未被吸納之總酸量會形成酸鹼差[H]-[OH] = [H]-K0/[H]

[H]-K0/[H]+{[T1][H]/([H]+K1)+[T2][H]/([H]+K2)+...+[Tn][H]/([H]+Kn)}=原始總酸量
可解出[H]

又令y=ln[H], log[H]=y/ln(10)=y/2.302=0.43y
d [T1][H]/([H]+K1) /dln[H]= [T1] K1 e^y /(e^y+K1)^2
d ([H]-K0/[H]) /dln[H]= [H]+K0/[H] = e^y+K0/e^y

以圖表示的話,

可表為多個容量Ti的容器,依pKi(等於-log Ki)將中心擺在不同高度,
如果加入的是HX,就像是注滿[H]的X容器,
如果加入的是 X (如NaHCO3), 就像是空的X容器,
而裡面流動可交換的液體量則代表[H]的量

上圖表示把酸(如醋酸)加入中性水中,
醋酸會釋出[H]直到水夠酸到相當水準兩者均衡

上圖表示把多種酸(如醋酸)和鹼(如NaHCO3)加入中性水中

按pH(垂直)加總可能總合變化線

以37C的碳酸緩衝液來說,

溫度越高Ka越大,pKa1越小,37C時為6.1 ,
又每1mmHg CO2 維持水中 0.03mmol/L CO2

25mM 碳酸液 pH 3.85
25mM 小蘇打液 pH 約9.24 (若不考慮PKa2)
加入1mM HCl 時, pH 7.48
加入2mM HCl 時, pH 7.16
加入5mM HCl 時, pH 6.70
加入10mM HCl 時, pH 6.27
加入20mM HCl 時, pH 5.49
加入HCl放出H+使HCO3被中和掉,溶液中Cl-增加同等量,
形成normal anion gap的hyperchloremic acidosis


CO2 40mmHg,pH 7.4的碳酸緩衝液
加入CO2使由40增加到46mmHg時,[CO2]濃度1.2->1.38mM
pH 變7.34, 減少0.06, [HCO3]仍是24mM(變化小於0.00005mM)

Ammomium(NH4+) 37C時pKa為8.88
pH在7.4時僅NH4+:NH3=30:1
(ammonium和碳酸的pKa平均 (8.88+6.1)/2=7.49 接近於pH 7.40)

乳酸 pKa 3.86 比碳酸高很多,
在 pH 6 以上幾乎完全解離釋出 H+ ,
只要1mM 的 乳酸就可能讓 pH 從 7.48 掉到 7.16,

雙資本三生產函數資本均衡配置不存在?

 

雙資本三生產函數資本均衡配置不存在?

no capital equilibrium to triple production function and double capital ?

K1+K2+K3=K
L1+L2+L3=L
產品Y1,Y2,Y3單價P1,P2,P3
欲最大化產值須使
P1δY1/δK1=P2δY2/δK2=P3δY3/δK3......(1)
P1δY1/δL1=P2δY2/δL2=P3δY3/δL3......(2)
若皆Cobb-Douglas函數
Y1=c1 K1^a1 L1^b1
Y2=c2 K2^a2 L2^b2
Y3=c3 K3^a3 L3^b3
兩式相除(1)/(2)
a1/b1 L1/K1=a2/b2 L2/K2=a3/b3 L3/K3=1/t
則K1=a1/b1 L1 t, K2=a2/b2 L2 t, K3=a3/b3 L3 t
Y1= c1 (a1/b1 t)^a1 L1^(a1+b1)
Y2= c2 (a2/b2 t)^a2 L2^(a2+b2)
Y3= c3 (a3/b3 t)^a3 L3^(a3+b3)
代回(2)
P1 b1 c1 (a1/b1 t)^a1 L1^(a1+b1-1)
=P2 b2 c2 (a2/b2 t)^a2 L2^(a2+b2-1)
=P3 b3 c3 (a3/b3 t)^a3 L3^(a3+b3-1)
若三者皆為規模報酬不變a1+b1=a2+b2=a3+b3=1
P1 b1 c1 (a1/b1 t)^a1 =P2 b2 c2 (a2/b2 t)^a2 =P3 b3 c3 (a3/b3 t)^a3
P1 c1 a1^a1 b1^b1 t^a1 =P2 c2 a2^a2 b2^b2 t^a2 =P3 c3 a3^a3 b3^b3 t^a3
由P1 c1 a1^a1 b1^b1 t^a1 =P2 c2 a2^a2 b2^b2 t^a2 得t=t1,
由P2 c2 a2^a2 b2^b2 t^a2 =P3 c3 a3^a3 b3^b3 t^a3 得t=t2,
t1不一定會等於t2, 無均衡配置?

動態配置過程迴圈

若a1+b1=a2+b2=a3+b3=1
給定L1,L2,L3套用(1)式而令=1/t
P1a1c1 K1^(a1-1) L1^b1=P2a2c2 K2^(a2-1) L2^b2=P3a3c3 K3^(a3-1) L1^b3=1/t
K1= L1 (P1a1c1 t)^(1/(1-a1))
K2= L2 (P2a2c2 t)^(1/(1-a2))
K3= L3 (P3a3c3 t)^(1/(1-a3))
由K=K1+K2+K3可解出t代回而得K1,K2,K3
再給定此組K套用(2)式而令=1/s
L1= K1 (P1b1c1 s)^(1/(1-b1))
L2= K2 (P2b2c2 s)^(1/(1-b2))
L3= K2 (P3b3c3 s)^(1/(1-b3))
又可由L=L1+L2+L3解出s代回而得L1,L2,L3
然後再套用(1)形成迴圈


實例:
若a1=0.2,a2=0.5,a3=0.8,P1c1=P2c2=P3c3=1,K=3,L=6
K1= L1 (a1 t)^(1.25)
K2= L2 (a2 t)^(2)
K3= L3 (a3 t)^(5)
由K=K1+K2+K3可解出t代回而得K1,K2,K3
再給定此組K套用(2)式
L1= K1 (b1 s)^(5)
L2= K2 (b2 s)^(2)
L3= K3 (b3 s)^(1.25)

由(L1,L2,L3)=(2,2,2)開始
t=1.23568, (K1,K2,K3)=(0.34850,0.76345,1.88803)
s=2.08816, (L1,L2,L3)=(4.53387,0.83224,0.63387)
t=1.49219, (K1,K2,K3)=(1.00008,0.46327,1.53664)
s=1.74075, (L1,L2,L3)=(5.23804,0.35095,0.41094)
t=1.61777, (K1,K2,K3)=(1.27821,0.22963,1.49216)
s=1.67123, (L1,L2,L3)=(5.46051,0.16034,0.37923)
t=1.65093, (K1,K2,K3)=(1.33250,0.10491,1.37701)
s=1.66452, (L1,L2,L3)=(5.69243,0.07325,0.34996)
t=1.67250, (K1,K2,K3)=(1.44808,0.05123,1.50072)
s=1.63792, (L1,L2,L3)=(5.59379,0.03436,0.37192)
t=1.66530, (K1,K2,K3)=(1.41533,0.02382,1.56087)
s=1.64549, (L1,L2,L3)=(5.59481,0.01612,0.38906)
t=1.65523, (K1,K2,K3)=(1.40490,0.01104,1.58403)
s=1.64805, (L1,L2,L3)=(5.59690,0.00750,0.39561)
(K2,L2)趨近於(0,0),Y2最後停止生產,
(K3,L3)趨近於(1.6,0.4),
(K1,L1)趨近於(1.4,5.6)

1/t為K邊際產值,1/s為L邊際產值


  

等效用線與均衡交易價格比

等效用線與均衡交易價格比

 

上圖為兩財貨X與Y數量形成的坐標平面,
藍曲線為等效用線(IC,indifference curve),
紅直線為預算限制線(budget line)也是交易線(trade line)
假設X價格為Px,Y價格為Py,以|ΔX|數量的X財貨交換|ΔY|數量的Y財貨,
則交易發生時 PxΔX + PxΔY =0 (X交換Y者,ΔX為負ΔY為正)
(Px,Py)・(ΔX,ΔY)=0 在座標平面形成過(X,Y)而以(Px,Py)為法向量的交易後可能線
當該交易線與等效用線相切時,該處形成交易後最佳效用,
圖中H為某甲生產的(X,Y),延交易線而交易到E處(僅此圖)時,有最佳效用,
形成之交易需求可以HE向量表示.

當市場價格比改變後,交易線斜率改變,同樣交易前的H,交易後到達A點有最佳效用,
但此最佳效用比之前價格下的最佳效用差,交易需求以HA向量表示.

 生產量於J點且效用函數相同的某乙在市場上出現,延交易線移到E點時有最佳效用,
某乙會以Y換X,交易需求以JE向量表示,
若市場上只有某甲和某乙兩人,此價格比下兩方需求向量長度不同(|JE|>|HA|),
加總後會有多餘以Y換X的需求,將使X價格上升,Y價格下降,而讓交易線斜率變陡.

交易線如果變太陡,(|JE|<|HA|),需求向量加總後會有多餘以X換Y的需求,
將使Y價格上升,X價格下降,而讓交易線斜率變平緩.

交易線斜率適當時,(|JE|=|HA|),向量加總後為0,為此時為均衡交易價格比,
若效用函數為齊次函數V(x,y)的函數U(V(x,y)),K點表示甲乙的產量總和,
則過K之等效用線於K處之切線斜率與均衡價格交易線斜率相同.

生產量於M點且效用函數相同的某丙進入市場,延交易線移到P點時有最佳效用,
交易需求以MP向量表示,均衡交易價格要使向量和 JE+HA+MP=0 才能成立,
此圖K點表示甲乙丙的產量總和,過K之等效用線於K處之切線斜率與均衡價格交易線斜率相同.

三財貨X,Y,Z的狀況

(Px,Py,Pz)・(ΔX,ΔY,ΔZ)=0 在立體座標形成過(X,Y,Z)而以(Px,Py,Pz)為法向量的交易可能平面

(1) n次齊次方程性質
若效用函數U(V(X,Y,Z)),其中V(X,Y,Z)為n次齊次方程,則有 V(kX,kY,kZ)=k^n V(X,Y,Z),
且 {(kX,kY,kZ)處(Vx,Vy,Vz)}=k^(n-1){(X,Y,Z)處(Vx,Vy,Vz)}
又 dU(V(X,Y,Z))=U'(V(X,Y,Z))(Vx dX+ Vy dY+Vz dZ)k^n U'(k^n V(X,Y,Z))(Vx dX+ Vy dY+Vz dZ)=dU(k^n V(X,Y,Z))=dU(V(kX,kY,kZ))
=U'(V(kX,kY,kZ))(Vkx d(kX)+ Vky d(kY)+Vkz d(kZ))=kU'(k^n V(X,Y,Z))(Vkx dX+ Vky dY+Vkz dZ)
則 (Vkx,Vky,Vkz)=k^(n-1) (Vx,Vy,Vz)

(Ukx,Uky,Ukz)=k^n U'(k^n V(X,Y,Z))(Vx,Vy,Vz)
(Ux,Uy,Uz)= U'(V(X,Y,Z))(Vx,Vy,Vz)
(Ukx,Uky,Ukz)=k^n {U'(k^n V(X,Y,Z))/U'(V(X,Y,Z))} (Ux,Uy,Uz)

可知若(X,Y,Z)處(Ux,Uy,Uz)= t (Px,Py,Pz)
則(kX,kY,kZ)處(Ukx,Uky,Ukz)= {t k^n U'(k^n V(X,Y,Z))/U'(V(X,Y,Z))} (Px,Py,Pz)
可知對任意(Px,Py,Pz)欲使 (Ux,Uy,Uz)= t (Px,Py,Pz) 成立,
符合之(X,Y,Z)在一直線上可表為k(Xm,Ym,Zm)=kRm
亦即以(Px,Py,Pz)為法線而切於U之處必為 (kXm,kYm,kZm) 形式

(2) 交易需求
以P(Px,Py,Pz)為法線而過R1(X1,Y1,Z1)而切於U(X,Y,Z)之處
因切點和R1在同平面上,k(Xm,Ym,Zm)・(Px,Py,Pz)=(X1,Y1,Z1)・(Px,Py,Pz)
可得k=(R1・P)/(Rm・P)而求出切點為 (R1・P)/(Rm・P) Rm
某甲交易需求向量(R1至切點) = (R1・P)/(Rm・P) Rm - R1

甲乙丙交易需求向量總和
(R1・P)/(Rm・P) Rm - R1+(R2・P)/(Rm・P) Rm - R2+(R3・P)/(Rm・P) Rm - R3
= ((R1+R2+R3)・P)/(Rm・P) Rm - (R1+R2+R3)
總和要等於0才能均衡,((R1+R2+R3)・P)/(Rm・P) Rm = (R1+R2+R3)
故 Rm 必須平行於 (R1+R2+R3),
故當甲乙丙效用函數相同時且為齊次函數之函數時,
可用(R1+R2+R3)與U相交處切線之法線得出均衡P方向(價格比).

三財貨且不同效用函數的狀況

同樣市場價格P,因甲乙丙之效用函數不同而產生不同Rm向量方向,表為Rm1,Rm2,Rm3,
交易後分別切 U1,U2,U3 於 k1Rm1,k2Rm2,k3Rm3
甲乙丙交易需求向量總和:
(R1・P)/(Rm1・P) Rm1 - R1+(R2・P)/(Rm2・P) Rm2 - R2+(R3・P)/(Rm3・P) Rm3 - R3
均衡時必須:
(R1・P)/(Rm1・P) Rm1 +(R2・P)/(Rm2・P) Rm2 +(R3・P)/(Rm3・P) Rm3 =(R1+R2+R3)
仍可解出均衡價格(但計算過程繁雜)

Cobb-Douglas型效用函數

某甲U(X,Y,Z)=X^a Y^b Z^c, h1=a+b+c<1
(Ux,Uy,Uz)= (aU/X,bU/Y,cU/Z) = U(X,Y,Z) (a/X,b/Y,c/Z)
以(Px,Py,Pz)為法線之平面群切U群處 a/X/Px=b/Y/Py=c/Z/Pz,
得切點群形成直線方向Rm(Xm,Ym,Zm)=t(a/Px,b/Py,c/Pz)
某甲交易需求向量(R1・P)/(Rm・P) Rm - R1
=(PxX1+PyY1+PzZ1)/(a+b+c) (a/Px,b/Py,c/Pz) - (X1,Y1,Z1)
= 1/(a+b+c) ([-(b+c)PxX1+aPyY1+aPzZ1]/Px,[bPxX1-(a+c)PyY1+bPzZ1]/Py,[cPxX1+cPyY1-(a+b)PzZ1]/Pz)

Px單獨上升時,對X財貨需求下降,Y,Z需求皆上升,反之亦然,Py,Pz升降也同理可類推
Px接近∞時,X財貨需求 -(b+c)/(a+b+c) X1為負,某甲想賣掉部分X1, Y和Z財貨需求則變∞
Px接近0時,X財貨需求∞

某乙U(X,Y,Z)=X^d Y^e Z^f, h2=d+e+f<1
某乙交易需求向量(R2・P)/(Rm・P) Rm - R2
= 1/(d+e+f) ([-(e+f)PxX2+dPyY2+dPzZ2]/Px,[ePxX2-(d+f)PyY2+ePzZ2]/Py,[fPxX2+fPyY2-(d+e)PzZ2]/Pz)

由於對甲和乙來說,Px從0到∞可使X財貨需求從正∞開始遞減到0再到負的,
效用函數不同可使到達甲乙零需求之Px不同,當Px在二者之間時,一正一負可發生交易使和為0

生產者利潤,天然資源租,人造資本利得,勞動剩餘與社會總體盈餘

 

生產者利潤,天然資源租,人造資本利得,勞動剩餘與社會總體盈餘

producer profit, natural resource rent, artificial capital rent, labor surplus and social earning

天然資本(natural resource) N,折舊0,地租(rent) r
人造資本(artificial capital) K,折舊(depreciation) j,利率(interest) i
勞動力(Labor) L, 每人最低生存消費及人口折舊w, 每人勞動剩餘(labor surplus) s
其中w=維持生存所需之最低終身消費/平均壽命

(庫存財貨可視為無生產力之人造資本,倉儲過程也會發生折舊減損)

對於社會總體來說,
地租和利息只是生產者支付給天然與人造資本擁有者的社會內轉移,不計入社會成本,
而折舊與最低生存消費則為不可避免支出,計為社會成本,
社會盈餘(πm)= Y - jK - wL
生產者利潤(profit)(πp)= Y - (i+j)K - rN - (w+s)L
勞動剩餘 sL
自然資源擁有者租金 rN
人造資本擁有者利得 iK

社會可支配所得為Y,
但若將全部Y用於消費,將使因折舊與生存消費造成的資本與勞力減損無法回補,
為殺雞取卵的狀況

dY = Yn dN + Yk dK + Yl dL
若Y(N,K,L)規模報酬不變(一次齊次函數),在完全競爭的條件下,
Y = Yn N + Yk K + Yl L

生產者利潤πp最大化時,需使 Yk=i+j, Yl=w+s, Yn=r,
當天然資源有限供過於求時,天然資本擁有者會提高租金r使r=Yn,
πp = Y-(i+j)K-(w+s)L-rN= 0 此時社會剩餘πm= iK + sL + Yn N

社會剩餘πm最大化時, Yk=j, Yl=w, πm =Y-jK-wL= Yn N
亦即必須累積更多人造資本與勞動力使Yk,Yl更低,Yn更高

可見要讓社會剩餘最大化,必須使地盡其利,i=0, s=0,
此時勞工工資為最低生存所需(奴隸級所得),
人造資本擁有者利得為0,
而最大化後之社會剩餘全部為天然資本擁有者所獨吞,
至於天然資本擁有者是誰?
君主時代為君王和封建諸侯,共產主義國家為所有人民,
資本主義國家則為地主,
但國家可用地價稅的形式將部分社會剩餘移轉到公共財

社會剩餘πm一旦達到最大化的境界,
此時將剩餘投資於人造資本或養成增加人口只會減少未來社會剩餘,
社會剩餘只有用在科技研究才能提高生產效率,而更進一步提升社會剩餘

結論:
社會剩餘最大化使天然資本擁有者全拿,
若全數用在科技研究可使未來生產效率大幅提高,
該社會體系因科技與經濟優勢,在未來有同化甚至消滅其他社會體系的能力,
而未來若容許適度社會剩餘次大化,未來勞工也會過得比現代就次佳化的勞工好