cot x 展開成雙向無限調和數列

cot x 展開成雙向無限調和數列

cot x = 1/(x-nπ)+ ...+ 1/(x-π)+1/x+1/(x+π)+...+1/(x+nπ) 其中n趨近無限大

反過來說
sum(1/(k+a))= π cot (aπ)

藥物濃度走向穩定態

 藥物濃度走向穩定態

https://docs.google.com/spreadsheets/d/15WunQSgjZrwJjJQYuV380X30erSv8Q9J8QgODjb_FKo/edit?usp=sharing

從出廠藥物含量平均與標準差計算穩定狀態體內尖峰量平均與標準差

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[統計學隨筆] 自由度(degree of freedom, df)

[統計學隨筆] 自由度(degree of freedom, df)

學生物統計時開始接觸這個名詞,但腦中總是似懂非懂的,和數學概念總是連不起來,特別是竟然自由度竟然還能加加減減

這邊先從3維取樣空間當範例,然後再推廣到n維空間

再來是分兩組取樣,分別取3次與2次形成的5維空間,然後再推廣到m組共取n次的n維空間狀況

以上是自由度概念的來源

r >> g 貧富差距,然後呢? 該怎麼辦?

r >> g 貧富差距,然後呢? 該怎麼辦?

先說結論,和 Piketty 相反, 我認為不但不該課徵資產稅, 反而應該降低資產稅鼓勵儲蓄與資本擴大再生產. 再來說說理由,

首先,
在合理的K與L構成的固定規模報酬生產函數,資本相對勞動上升會讓資本邊際生產量下降,勞動邊際生產量上升,反之,資本相對勞動下降會讓資本邊際生產量上升,勞動邊際生產量下降
r= dY/dK - 資本折舊率,故會隨資本邊際生產量升降
對勞動者來說,如果不用自己儲蓄,又能讓資本家把r全部再投入資本,社會資本存量當然越高越好

資產稅的課徵,減少投資的誘因,資本需求下降連帶使借貸利率下降,減少大家儲蓄意願,增加消費意願,結果是供給減少,需求增加,差別(累進)資產稅的課徵固然可減少衝擊,但一來資產較多的人再投資對社會資本存量增加更有效率,二來有些產業需達一定規模才能達到固定規模報酬

回顧歷史,許多大規模戰爭過後, 資本存量都會大幅下降, 試問與戰前相比 r 是降低還是上升? 不難想像戰後的r相對戰前會大幅增加,至於戰爭中間的r該怎麼算是另一個問題,因人口被轉移到軍隊,有效勞動人口的下降可能讓r下降,但另一方面戰爭龐大的物資需求可讓r上升,另方面,戰爭中武力直接資本的破壞雖造成資本存量縮減,但並不是自然折舊所造成

再看20世紀共產主義國家開動"走資"前後的變化,特別是中國在政治穩定下一發動走資,由於r遠大於g,當然造成貧富差距增加,但不但使先投資的變有錢,窮人也變有錢生活品質提升,難道因為r>>g會造成貧富差距擴大,中國人會希望中國繼續貧窮下去?

每次工業革命和新技術發明前後,也造成r突然升高, r >> g , 然後貧富差距增加, 難道人類甘於技術永遠不進步,繼續過上古時代的原始生活?
r >> g 造成貧富差距無庸置疑, 社會上永遠有人先知先覺, 有人後知後覺,新技術新發明出來以後先知道的人先投資,當然會先有錢,而且比後來的有錢,就像任何新武器被發明以後,當然造成軍事平衡被破壞,但是當所有人都拿到新武器後,又會回到平衡狀態,這邊當然會產生一個問題,就是在所有人拿到新武器前,就是可能落後的部落會被先佔者給滅絕掉,但解決的方案絕對不是也不可能防止新武器,新技術,新發明出現,即便美洲原住民不可能防止歐洲人科技前進,相反的是要讓落後的部落在被先佔者滅絕前可以拿到新武器恢復平衡才是正辦,也就是讓沒有資本的人盡快得到資本,沒有新技術新發明的文化圈盡快得到新技術新發明

每次新技術新發明還有一個好處, 就是對已知不可增加的天然資本(如工業革命前的農地)依賴性降低,前面的非天然資本可以透過"擴大再生產"的行為增加資本存量,進一步降低r到接近於g,生產工具私有也可以讓人人都有,而農業社會最重大的資本就是農地,隨著人口增加,農地邊際產量與報酬會不斷上升,可是農地無法增加,農地r與g的距離會越來越大,這就是天然資本(土地與礦產)與非天然資本最大的區別,天然生產工具無法讓人人都有,工業革命讓佔地不大的工廠生產出的工業品效用,可以抵過好多倍土地才能生產出農作物的效用

由於可擴大性不同,政府針對天然資本與非天然資本造成的r>>g應該採用不同方法,
天然資本可以私有,但衍生經濟利益應該公有,政府應該定期精算天然資本邊際報酬,將天然資本收益全數收入國庫
非天然資本部分,應該勵民眾儲蓄與資本家擴大再投資的行為,以加速資本的普及性與總存量增加,讓r降低g上升,r逐漸接近於g
無形資本部分,法令應避免過度的智慧財產權/專利權保護,政府也應成立有公信力的產品資訊公開平台,避免品牌效應造成的貧富不均

那r=g甚至r<g後該怎麼辦?
此時全球經濟體應該是陷入通縮狀態,
所謂鳥盡弓藏兔死狗烹,杯酒釋兵權的時候到了
資產稅,特別是累進資產稅,來個財富大洗牌,一方面降低貧富差距,另方面刺激消費

總之,
r>>g 反映的是資本匱乏, 社會有求於資本家, 宜推行資本主義(但天然資本報酬應公有)
r<<g時, 資本家有求於社會, 宜推行共產主義

crtzengweb@gmail.com

Membrane potential buffering by permeable ions(variable volume)

Membrane potential buffering by permeable ions(variable volume around membrane)

continue to 
http://crtzengweb.blogspot.tw/2015/05/membrane-potential-buffering-by.html

When considering if there are variable volume around membrane,
The exact formula derived from Nernst equation becomes below

Voltage of maximal buffering capacity for B+ becomes s=ln(Si/So)/h rather than 0,
Voltage of maximal buffering capacity for A- becomes -s=ln(So/Si)/h rather than 0

Membrane potential buffering by permeable ions

Membrane potential buffering by permeable ions

均勻分布電荷於無限延伸之平板上對平板外任意點產生之電場如下

If there is a membrane with equal space inner & outer to membrane, which is freely permeable to [A-],[B+],impermeable to [Na+]. When we give more [Na+] to outside, without [A-],[B+] around two side, inner potential(V) become negative, which proportional to ([Na+]i-[Na+]o)

When we give more [Na+] to outside, same half [A-],[B+] around two side, V become negative, and then permeable cations get in membrane, permeable anions get out of membrane, both counteract the negative voltage created by ([Na+]i-[Na+]o) alone. As a result, same ([Na+]i-[Na+]o) makes less transmembrane potential due to buffering effect of permeable ions. On the other words, it takes more |[Na+]i-[Na+]o| change to make same potential change.

The exact formula derive from Nernst equation is shown below

It's somewhat like the pH buffering effect of buffer solution.
http://crtzengweb.blogspot.tw/2013/07/buffer-solution.html

技術性失業

技術性失業

19世紀初工業革命期間紡織機的問世,讓大量紡織工人失業,薪資降低,
按理講,科技進步讓工人邊際產量(marginal production,MP)上升,
工人工資理應上升才對,到底發生了什麼事? 一定會這樣嗎?

圖中藍線表示原工作效率,紅線表示科技進步導致工作效率提升後的情況
這邊假設勞動邊際產量不因勞工數量增加而遞減
左上圖: 橫軸為勞工量,縱軸為科技進步前後勞工邊際產量
中上圖: 橫軸為勞工量,縱軸為全部勞工總產出量
右上圖: 此圖綠線為產品市場需求曲線,隨著價格減低需求量增加
左下圖: 綜合中上及右上圖得此圖,表示勞工量與產品價格的關係
中下圖: 此圖為左下圖與左上圖相乘得出,表示勞工量與勞動邊際產值
右下圖:
紫線為勞動市場供給曲線,原先技術下勞動市場均衡點L1,新技術下變L2,
L1-L2為技術性失業量,同時造成均衡薪資下降
但若勞動市場供給曲線是淺綠線,技術進步後反而讓均衡薪資上升,
勞工雇用量增加,也就是說若原技術水準下勞動供應不足,勞工薪資要求較高,
技術進步後勞工反而獲得好處

這張圖中黑線是勞動供應曲線,彩色線是邊際產值線(VMP),
按顏色從技術差到好分別是紅橙黃綠淺深藍紫線,
紅線技術水準差,整條線都低於勞工薪資,尚無法進入商業生產,
技術進步到橙線時已可進入商業生產,少數勞工被雇用,
隨著技術進步到黃線和綠線,勞工薪資上漲,雇用量也上升,
但到了淺藍水準時,薪資開始下降,雇用量也減少,
到紫線水準時雇用量和薪資比橙線水準時還少

當然以上沒考慮總待工人數,
且假定勞工技術性不高或者可和其他產業一定程度共用,
也就是說如果是專業養成門檻高改行又相對不易的勞工,
在供過於求的狀況下,勞工只好集體接受更低薪水來維持就業,
也就是發生黑線下移的狀況,
但如果是到了紫線的階段,黑線就算低到0,還是無法增加多少就業機會