經濟筆記

(一)梭羅模型-1

令生產函數 f=cK^a L^b, 儲蓄(投入資本)比例s 資本衰減率 j
K'(t) = sf - jK = scK^a L^b - jK
生產盈餘Y=(1-s)cK^a L^b

最大K值時 scK^a L^b = jK ; K= (sc/j L^b)^(1/(1-a))
生產盈餘Y=(1-s)c K^a L^b = (1-s)c(sc/j L^b)^(a/(1-a)) L^b
= (1-s)s^(a/(1-a)) c^(1/(1-a)) L^(b/(1-a)) /j^(a/(1-a))
當Y'(s)=0 => -f + (1-s)[a/(1-a)]f/s =0
=> (1-s)a/(1-a)/s=1 => s=a
儲蓄率為a時有最大盈餘Y= (1-a)a^(a/(1-a)) c^(1/(1-a)) L^(b/(1-a))/j^(a/(1-a))

K(t)隨時間之變化:
dK/dt +jK = scK^a L^b
=> (1-a)scL^b = (1-a)K^(-a)dK/dt + (1-a)jK^(1-a) = d(K^(1-a))/dt + (1-a)jK^(1-a)
令K(t)^(1-a)=G(t) =>  dG/dt + (1-a)iG = (1-a)scL^b
d(G-scL^b/j)/dt + (1-a)j(G-scL^b/j)=0
=> G(t)= Xe^((a-1)jt) + scL^b/j (X為常數)
K(t)=G(t)^(1/(1-a))= (Xe^((a-1)jt) + scL^b/j)^(1/(1-a))
又t=0時K0=(X + scL^b/j)^(1/(1-a)) => X= K0^(1-a)-scL^b/j
K(t)= (K0^(1-a)e^((a-1)jt) + scL^b/j(1-e^((a-1)jt)))^(1/(1-a))
f(t)=  cL^b (K0^(1-a)e^((a-1)jt) + scL^b/j(1-e^((a-1)jt)))^(a/(1-a))
(若K0接近0,當a>0.5時a/(1-a)>1此時f(t)存在凹凸轉折點t=ln(a/(1-a))/[(1-a)j]使f''(t)=0
於該處達最大成長f'(t))

當a<1,t->無限大 => K= (scL^b/j)^(1/(1-a))
預找出s=1下達最佳K(該時s=a)之時間t
=> (Xe^((a-1)jt) + cL^b/j)^(1/(1-a))=(acL^b/j)^(1/(1-a))
=> e^((a-1)jt) =(a-1)cL^b/j / (K0^(1-a)-acL^b/j) = (1-a)/(a-(j/(cL^b))K0^(1-a))
t= [ln(a-(j/(cL^b))K0^(1-a))-ln(1-a)]/(1-a)


(二)梭羅模型-2

當生產函數f未知 儲蓄(投入資本)比例S 資本衰減率j
K'(t) = Sf - jK 生產盈餘Y=(1-S)f

K達最大時K'=0 => Sf - jK =0 =>  d (lnS + lnf - lnK)= d lnj =0
=> d(lnS) = (dlnK/dlnf - 1) d(lnf)
當Y'=0 => d (ln(1-S) + lnf)=0 => [-S/(1-S) dlnS] + d(lnf) =0
=> d(lnS) = (1/S -1) d(lnf)

合併兩式 S=d(lnf)/d(lnK)  (d(lnf)/d(lnK)為邊際資本生產彈性)
=> 當 S=K/f df/dK 時, 生產盈餘Y可得最大值

(帶入f=cK^a L^b則可得 S=a)

(三)梭羅模型與人口及技術成長

若勞力成長率g, L=L0 e^(gt)
K(t)=(X e^((a-1)jt) + sc/(j+bg/(1-a)) L0^b e^(bgt))^(1/(1-a))

又若技術成長率n, C=C0 e^(nt)
Y=CK^aL^b=(C0L0^b)e^[(n+bg)t] K^a
dK/dt=sY-jK=(sC0L0^b)e^[(n+bg)t] K^a-jK
dK^(1-a)/dt=(1-a)K^(-a) dK/dt=(s(1-a)C0L0^b)e^[(n+bg)t]-(1-a)jK^(1-a)
令U=(s(1-a)C0L0^b),V=(1-a)j
dK^(1-a)/dt+VK^(1-a)=U e^[(n+bg)t]
d[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]/dt+V[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]
=dK^(1-a)/dt+VK^(1-a)+[-w(n+bg+V)]e^[(n+bg)t]
=U e^[(n+bg)t]-w(n+bg+V)e^[(n+bg)t]=[U-w(n+bg+V)]e^[(n+bg)t]

當w=U/(n+bg+V)=(sC0L0^b)/(j+(n+bg)/(1-a))時,
d[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]/dt+V[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]=0
[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]=Xe^(-Vt) (X為常數)
則K(t)=[Xe^(-Vt)+we^[(n+bg)t]]^(1/(1-a))
K(t)=[Xe^((a-1)jt)+(sC0)/(j+(n+bg)/(1-a)) L0^b e^[(n+bg)t]]^(1/(1-a))
(以(n+bg)及C0取代無技術成長時bg及C即可)

Yk=(aC0L0^b)e^[(n+bg)t] K^(a-1)=a/[X1 e^(-(n+bg+(1-a)j)t)+s/(j+(n+bg)/(1-a))]
當t非常大且a+b=1時,Yk=a/[s(j+(n+bg)/(1-a))]=a/[s(j+n/b+g)]

圖化算式:

人口成長率g的固定規模報酬函數:

crtzengweb@gmail.com

從需求到價格: Inter-sector input output analysis

從需求到價格(From demand to price): Inter-sector input output analysis

假定:
單位商品(半成品)有n種其總產出單位數 X1 X2 X3 ..... Xn
市場價格P1.....Pn
單位製程有m種其總使用單位數 Y1 Y2 Y3 ..... Ym
分別形成 (n x 1) 之 X及P矩陣 和 (m x 1) 之 Y矩陣

單位製程j 使用各種原料i之量Aij Xi 生產出各種i之量Bij
分別形成 (n x m) 之 Aij 和 Bij矩陣

A11 A12..A1j...A1m
A21 A22..A2j...A2m
.....
Ai1 Ai2..Aij...Aim
.....
An1 An2..Anj...Anm

可計算出總產出X=BY 總耗用 AY
得出(n x 1)之盈餘需求矩陣D = (B-A)Y = X-AY 供資本投入及終端消費使用
各單位製程之成本矩陣 (A')P 收入矩陣 (B')P
價差(附加價值value added)矩陣 V = (B'-A')P = ((B-A)')P皆為(m x 1)

關於D = (B-A)Y
由於不同製程可產生相同產品(不同飼料都可以養豬),
同一製程也可產生不同副商品(如一頭豬不同部位可以分售)
即使同樣之需求D矩陣,同樣之產出B及耗用A矩陣可能有不同之Y會符合
但生產者會傾向價差(附加價值)較低之製程
而同樣製程若價差越大,如同供應曲線一般.生產者也會傾向執行更多單位該製程
此彈性關聯會反映在製程使用矩陣Y與價差矩陣V之間
假定此彈性關聯如電路中之電阻倒數一般,係數分別為C1,C2.....,Cm
形成(m x m)之製程意願矩陣C  (若製程m耗用及產出皆放大3倍,Cm應變1/9Cm)
C1  0 .... 0
 0 C2 .... 0
....
 0  0 ....Cm
而使 Y = C V
代入前面2式
D = (B-A)Y = (B-A) C V = [(B-A) C ((B-A)')]P
價格矩陣 P = [(B-A) C ((B-A)')]^(-1) D
在已知各製程耗用及產出和生產者製程意願下,由市場需求量可以解出各商品價格

如同電路一般,並聯時電流會傾向走電阻較小的路徑,但電阻較大的路徑仍會有電流,
價格(Price)相當於電動勢(Voltage),貨物流量相當於電流(current),
而最終消費者的需求(demand)相當於電池(battery)賦予各種商品價格與電動勢


當然該關聯矩陣C可能會有不同模式如毛利率或總獲利......
特殊形態: 當每種商品只有唯一製程,製造過程亦不產生副商品時,
m=n使A和B成為(n x n)方陣

Fractional Flow Reserve (FFR)

FFR的生理意義是對於某特定流域之心肌,
目前(有大血管狹窄下)血流/最大可能(排除大血管阻力後)血流

Aorta-> coronary artery -> microvasculature -> cardiac vein -> right atrium

在沒有大血管(冠狀動脈)狹窄的情況下主要的阻力在microvasculature(包括arteriole,capilary)

假定分布於某特定流域之心肌,
其冠狀動脈有一段狹窄,該段阻力R,
而微小血管阻力最小值Rc(使用adenosine注射使微小血管充分擴張而達到),
靜脈壓力(Pv)相對極低接近於0

Pa -> R -> P1 -> Rc -> Pv(=0)
基於連通管任意斷面血流F相等 (Pa-P1)/R=(P1-Pv)/Rc=(Pa-Pv)/(R+Rc)=F
R=(Pa-P1)/F ;  Rc=(P1-Pv)/F

目前血流F = (Pa-0)/(R+Rc)
最大可能血流Fmax: 當R經處理成為0 => Fmax= Pa/Rc
FFR = F/Fmax= Rc/(R+Rc) = (P1-0)/(Pa-0) = P1/Pa
Pa 可直接由導管測量, P1則需使用特製導線深入冠狀動脈狹窄後方作測量

FFR 若小於 0.75-0.8 表示目前血流僅剩最大血流之 0.75-0.8倍
Rc/(R+Rc)< 0.75-0.8 意即 R/Rc > 0.33-0.25
此時對此狹窄做處理較有可見之效果

那如果有2段狹窄而中間無大分支的狀況
Pa -> R1 -> P1 -> R2 -> P2 -> Rc -> Pv(=0)
(Pa-P1)/R1=(P1-P2)/R2=(P2-Pv)/Rc=(Pa-Pv)/(R1+R2+Rc)=F
R1=(Pa-P1)/F ;R2=(P1-P2)/F ; Rc=(P2-Pv)/F

兩段狹窄總阻力R=R1+R2, 總合FFR為 P2/Pa
R1 FFR(排除R2後)= Rc/(R1+Rc) = (P2-Pv)/(Pa-P1+P2-Pv) = P2/(Pa-P1+P2)
R2 FFR(排除R1後)= Rc/(R2+Rc) = (P2-Pv)/(P1-P2+P2-Pv) = P2/P1

n objects within controlled bilateral vibration interconnected with (n+1) spring coils

n objects within controlled bilateral vibration interconnected with (n+1) spring coils
(all k/m substitutes with  k here)

Xi'' = k Xi-1 -2k Xi + k Xi+1
X0, X n+1 were controlled vibration of cos & sin wave
X0    = Gj cos Wj t
Xn+1= Hj cos Wj t

let Xi be linear,  Rij cos Wj t + Qij sin Wj t, composed of different j
Xi'' + 2k Xi =   (2k-Wj^2)(Rij cos Wj t + Qij sin Wj t) = k Xi-1  + k Xi+1
k R(i+1)j - (2k-Wj^2) Rij  + k R(i-1)j =0
consider characteristic kx^2 - (2k-Wj^2) x + k =0 , with x solution a, b

When Wj^2 > 4k => a,b belongs to Real number
Rij =  Gj  (a^(n+1-i) - b^(n+1-i)) / (a^(n+1) - b^(n+1)) + Hj  (a^i - b^i) / (a^(n+1) - b^(n+1))
When Wj^2 =0 => a=b=1
Rij =  Gj  (n+1-i) / (n+1)  + Hj  i / (n+1)


When 0< Wj^2 < 4k => a,b belongs to Imaginery number
(Wj^2 - 2k) / 2k +- Wj x (Wj^2-4k)^0.5 /2k
-1 <(Wj^2 - 2k) / 2k <1
 => let cos Y = (Wj^2 - 2k) / 2k, sin Y = Wj (4k - Wj^2)^0.5 /2k
Rij = Gj sin ((n+1-i)Y) /sin ((n+1)Y) + Hj sin( iY) /sin( (n+1)Y)

共振頻率為 W=2(sin (hπ/[2(n+1)])) k^0.5,
當n夠大時,最高頻趨近 2k^0.5
最低頻 2(sin (π/[2(n+1)])) k^0.5,剛好從0點到(n+1)點形成半波長駐波

other

lim k2->k1 (e^(-k2t)-e^(-k1t))/(k2-k1) =  - t e^(-kt)

(若E>0,則r1與r2有一個會是負數,只剩一個正數)

兩星體質量分別為M,m,距離r,以質心為圓心作圓周運動,
a=V^2/R , V=Rw -> a=Rw^2 => w^2=a/R
m之旋轉半徑R為 rM/(M+m), 受萬有引力產生之a為GM/r^2
w^2=a/R= GM/r^2 / (rM/(M+m)) =G(M+m)/r^3


三星體呈正三角,質量皆為m,距離r,以質心為圓心作圓周運動,
旋轉半徑R為 r/3^0.5, 受萬有引力產生之a為Gm/r^2 x 3^0.5/2 x 2 = 3^0.5 Gm/r^2w^2=a/R= G(3m)/r^3

角動量(向量) d [m (r0+r)x(v0+v)] /dt = m(v0+v) x (v0+v) + m(r0+r) x (a0+a) = (r0+r) x (ma0+ma)
當a0=0, F與r同軸 => d [m (r0+r)x(v0+v)] /dt = r0 x ma
兩星體質量分別為M,m,互相萬有引力而不受外界力量,其空間位置向量 r1,r2,質心位置r0
d [M (r0+r1)x(v0+v1) + m (r0+r2)x(v0+v2)] /dt = r0 x (Ma1 + ma2) = 0 (因互為反作用力相加為0)

formula

planck's law
2k^4/(h^3c^2)  T^4 x^3/(e^x-1) dx
x=h ν/(kT)

x             x/(1-e^(-x))
0            1
1.593    1.999534952
2.821    2.999616249  (max  ν)
3.920    3.999351512
4.965    4.999888979  (max λ)

Maxwell–Boltzmann distribution
2/pi^0.5 x^0.5 e^(-x) dx
x= E/(kT) = mv^2/(2kT)

multiple step decay

A -k1-> B -k2-> C -k3-> D -k4->E -k5-> F
A'= -k1A; d (lnA)= d(-k1t) ; A=A0 e^(-k1t)
B'=  k1A - k2B
 B'+k2B=k1A=A0 k1 e^(-k1t);令B(t)=x(t)e^(-k1t)+y(t)e^(-k2t);
> B'(t)+k2B(t) = (k2-k1)x(t)e^(-k1t) + x'(t)e^(-k1t) + y'(t)e^(-k2t) > (k2-k1)x(t)+x'(t) = A0k1 & y'(t)=0 ; y(t)=y0
if k2  = k1 then x'(t) =A0k1; x(t)= A0k1t + x0
>B(t)= (A0k1t + x0)e^(-k1t)+y0e^(-k1t)= A0k1t e^(-k1t)+ (x0+y0)e^(-k1t); B0= (x0+y0)
>B(t)= B0e^(-k1t) + A0k1t e^(-k1t)
if k2 != k1 then x(t) = A0 k1/(k2-k1)
>B(t)= A0 k1/(k2-k1) e^(-k1t)+y0e^(-k2t); B0=  A0 k1/(k2-k1) +y0
>B(t)= A0 k1/(k2-k1) e^(-k1t)+ (B0-A0 k1/(k2-k1))e^(-k2t)
>B(t)= B0e^(-k2t) + A0k1( e^(-k1t)/(k2-k1) + e^(-k2t)/(k1-k2) )

C'=  k2B - k3C

if k3 != k2 != k1
C(t) =  C0e^(-k3t) + B0k2( e^(-k2t)/(k3-k2) + e^(-k3t)/(k2-k3) ) + A0k1k2 ( e^(-k1t)/[(k3-k1)(k2-k1)] + e^(-k2t)/[(k3-k2)(k1-k2)] + e^(-k3t)/[(k1-k3)(k2-k3)] )



IF k1=k2=k3=.........=kn=k AND B0=C0=D0=E0=F0=.........=0 let A1=B, A2=C,.....,An
A=A0 e^(-kt)
A1=B=A0 kt e^(-kt)
A2=C=A0 [ (kt)^2 /2! ] e^(-kt)
A3=D=A0 [ (kt)^3 /3! ] e^(-kt)
A4=E=A0 [ (kt)^4 /4! ] e^(-kt)
A5=F=A0 [ (kt)^5 /5! ] e^(-kt)
An=..=A0 [ (kt)^n /n! ] e^(-kt)
All summation: A0  e^(kt) e^(-kt) = A0

for each An, peak An occured when (An)'=0; (kt/n)=1;  tmax = n/k
[n - (n-1)]/[(tmax)n-(tmax)n-1 ] = k ; So The peak wave moves at speed k(let x=kt),  (x^n/n!)e^(-x) dx = d[(-x^n/n!) e^(-x)] + (x^(n-1)/(n-1)!)e^(-x) dx,
(-x^n/n!) e^(-x) will be 0(when x=infinite), 0(when x=0,n>0), -1(when x=n=0)

intergration An from x=0 to infinite:
A0[ (kt)^n /n! ]e^(-kt) dt = A0/k[ (kt)^n /n! ] e^(-kt) d(kt) = A0/k (x^n/n!)e^(-x) dx =A0/k[0-(-1)]=A0/k

An= An-1 x ( kt / n )
for each time frame t (and kt), peak A occurred at nmax=kt (where kt/n=1;An=An-1)
at nmax, Anmax-2/Anmax-1= (kt-1)/kt; Anmax+1/Anmax= kt/(kt+1);when kt large enough ->