規模報酬不變的生產函數

 

規模報酬不變的生產函數

生產要素用量X1,X2,...,Xn, 生產函數 Y=F(X1,X2,...,Xn)
規模報酬不變則有 F(tX1,tX2,...,tXn)= t F(X1,X2,...,Xn)
d F(X1,X2,...,Xn)= Fx1(X1,...,Xn) dX1 + Fx2(X1,...,Xn) dX2 +...+ Fxn(X1,...,Xn) dXn

d F(tX1,...,tXn)= Fx1(tX1,...,tXn) d(tX1) + Fx2(tX1,...,tXn) d(tX2) +...+ Fxn(tX1,...,tXn) d(tXn)
  = t [Fx1(tX1,...,tXn) dX1 + Fx2(tX1,...,tXn) dX2 +...+ Fxn(tX1,...,tXn) dXn]
又 d F(tX1,...,tXn)= d[t F(X1,X2,...,Xn)]= t [Fx1(X1,...,Xn) dX1 + Fx2(X1,...,Xn) dX2 +...+ Fxn(X1,...,Xn) dXn]
因對任意(dX1,...,dXn)兩式皆須成立,可得多維相似形效果
Fx1(tX1,...,tXn)=Fx1(X1,...,Xn),
Fx2(tX1,...,tXn)=Fx2(X1,...,Xn),
Fxn(tX1,...,tXn)=Fxn(X1,...,Xn),

今欲知空間中一點(A1,A2,....,An)產量F(A1,A2,....,An)
連接該點與原點線上之點可表為(tA1,tA2,....,tAn)產量F(tA1,tA2,....,tAn)
該線上點與點間(t變,A1...An不變)之dF
dF(tA1,tA2,....,tAn)=Fx1(tA1,...,tAn) d(tA1) + ...+ Fxn(tA1,...,tAn) d(tAn)
=Fx1(A1,...,An)A1 dt + ...+ Fxn(A1,...,An)An dt
又dF(tA1,tA2,....,tAn)=d[t F(A1,A2,....,An)]= F(A1,A2,....,An) dt
則兩式又可得F(A1,A2,....,An)=Fx1(A1,...,An)A1+...+Fxn(A1,...,An)An
寫回Y=F(X1,X2,....,Xn)=Fx1(X1,...,Xn)X1+...+Fxn(X1,...,Xn)Xn
1=(∂F/F)/(∂X1/X1)+...+(∂F/F)/(∂Xn/Xn)= ε1+...+ εn

若單位要素成本為P1,P2,...,Pn,商品價格P
固定總成本預算下最高產量發生於Fx1/P1=Fx2/P2=...=Fxn/Pn=1/t時
總成本=P1X1+P2X2+...+PnXn=t(Fx1 X1 + Fx2 X2 +...+ Fxn Xn)=tY
總產值=PY=P(Fx1 X1 + Fx2 X2 +...+ Fxn Xn)
利潤為(P-t)Y = (P-t)(Fx1 X1 + Fx2 X2 +...+ Fxn Xn)

(若完全競爭使利潤為0,則t=P,Fx1=P1/P,...,Fxn=Pn/P)

food price in famine & income distribution

food price in famine & income distribution 

市場融合 (market fusion)

 

 貨物進出口對市場內供需二方剩餘的影響

(上圖左)
價格P0時供需平衡,
橘色為消費者剩餘(consumer surplus)
藍色為生產者剩餘(producer surplus)
二者相加為社會福利剩餘(social surplus)
(上圖中)
當價格P低於供需平衡價格P0時,
消費者願意消費的量Qd上升,生產者願意出售的量Qs下降,
導致只能發生Qs的成交量,消費者剩餘即使先增也會後減,生產者剩餘減少,
社會剩餘也減少了綠色那塊,稱作無謂損失(deadweight loss)
(上圖右)
當價格P低於供需平衡價格P0時,但有從市場外進口Qd-Qs的貨物時,
消費者得以消費Qd,生產者也得以出售Qs,
與(上圖左)相比消費者剩餘增加,生產者剩餘減少,社會剩餘則增加了

貨物出口的情況可以類推

兩獨立市場融和 (market fusion)

如圖所示,
藍色市場供需平衡價比紅色市場供需平衡價高,
當市場融合後價格P時,
藍色市場需求大於供給,落差為綠線,
紅色市場需求小於供給,落差為粉紅線,
紅色市場可出口貨品到藍色市場,
若綠線長度=粉紅線長度時,P為市場融合後之新平衡價

總的來說,兩市場貿易發生後,
使藍色消費者和紅色生產者獲利, 也使藍色生產者和紅色消費者受損,
而兩市場各自社會剩餘都增加

總合效用 (Aggregate utility)

總合效用(AU, Aggregate utility):

互相獨立之不同消費效用水平加總

反函數

若x1=g(y1),y1=h(x1),g,h為反函數
x1=g(y1)=x1=g(h(x1))
dx1=g'(y1)dy1=g'(y1)h'(x1)dx1則g'(y1)h'(x1)=1
g'(h(x1))=1/h'(x1)

現有X1...Xn,Y1...Yn,其中Xi=Gi(Yi),Yi=Hi(Yi)

水平加總

當Y1=...=Yi=Yn=Y, X=X1+X2+...+Xn
X(Y)=X1+X2+...+Xn=G1(Y)+G2(Y)+...+Gn(Y)
dX/dY=G1'(Y)+G2'(Y)+...+Gn'(Y)

垂直加總

當X1=...=Xi=Xn=X, Y=Y1+Y2+...+Yn
Y(X)=Y1+Y2+...+Yn=H1(X)+H2(X)+...+Hn(X)
dY/dX=H1'(X)+H2'(X)+...+Hn'(X)

總合效用

當U1...Un為各自獨立之效用時,U=U1(X1)+U2(X2)+...+Un(Xn)
dU=U1'(X1)dX1+U2'(X2)dX2+...+Un'(Xn)dXn
而C1...Cn為各自花費,C=C1(X1)+C2(X2)+...+Cn(Xn)
dC=C1'(X1)dX1+C2'(X2)dX2+...+Cn'(Xn)dXn
限制預算下最大效用時
C1'(X1)/U1'(X1)=C2'(X2)/U2'(X2)=...=Cn'(Xn)/Un'(Xn)=κ

令κi(Xi)=dCi/dUi=Ci'(Xi)/Ui'(Xi)則須κ1(X1)=κ2(X2)=...=κn(Xn)=κ
假定任意Ui可找到反函數使Xi=Vi(Ui),
又當商品價格固定,Ci'(Xi)=Pi,Ci"(Xi)=0
κi=Ci'(Xi)/Ui'(Vi(Ui))= Pi Vi'(Ui)
可作出各獨立消費品i於縱軸為κi橫軸為效用Ui之圖
κ1=κ2=...=κn=κ下,U=U1+U2+...+Un
總合效用AU為κi=κi(Ui)之水平加總(下圖紅線)

紅線上任意點為(總效用U,效用邊際價格κ),
總花費為紅線下總效用從0至U之積分面積

rotating source in Galileo coordinate?

rotating source in Galileo coordinate?

When wavelength fixed, frequency is proportional to velocity

完全競爭市場示意圖

 完全競爭市場示意圖

在規模報酬不變的產品市場

上圖為單一廠商的短期成本曲線,
當各廠商生產函數均相同時,水平加總成為水平放大

黑色:單一廠商的短期成本曲線
藍色: 兩個廠商(或2倍資本)水平加總後的短期總合成本曲線
綠色: 多個廠商(或多倍資本)水平加總後的短期總合成本曲線
當市場分別只有1家,2家或多家廠商,黑,藍,綠色SMR和AD分別交於黑,藍,綠點,
黑,藍點>黑藍SAC,正利潤,市場外廠商考慮進入生產(或增資)
綠點<綠SAC,負利潤,市場內廠商考慮退出生產(或減資)
紫色: SMR和AD交點=SAC,零利潤,市場均衡

極值與鞍點

 

 極值與鞍點

(一)單變數函數

Taylor展開式: F(x)=F(k)+F'(k)(x-k)+F"(k)/2! (x-k)^2+F'''(k)/3! (x-k)^3+......

當F(k+dk)=F(k)+F'(k)dk+F"(k)/2! dk^2+F'''(k)/3! dk^3+......
若F在x=k處有極值須F'(k)=0(稱臨界點)且(F(k+dk)-F(k))(F(k-dk)-F(k))>0
當dk->0則dk<<(dk)^2<<(dk)^3<<.......
則F(k+dk)-F(k)=F"(k)/2! dk^2+F'''(k)/3! dk^3+......
若其中F'''''(k)為第一項>0者,則
F(k+dk)-F(k) -> F'''''(k)/5! (dk)^5
F(k-dk)-F(k) -> F'''''(k)/5! (-dk)^5
(F(k+dk)-F(k))(F(k-dk)-F(k))-> (-1)^5 (F'''''(k)/5! (dk)^5)^2 <0 為反曲點
所以當第一個>0的是2n階導數時(-1)^(2n)>0才有極值,該導數>0為極小值,<0為極大值

(二)三變數函數

dF(x,y,z)=Fx dx + Fy dy + Fz dz
dFx=Fxx dx + Fxy dy + Fxz dz
dFy=Fyx dx + Fyy dy + Fyz dz
dFz=Fzx dx + Fzy dy + Fzz dz

ddF(x,y,z)=(dFx dx + dFy dy + dFz dz) + (Fx ddx + Fy ddy + Fz ddz)
dFx dx = Fxx dx^2 + Fxy dxdy + Fxz dxdz
dFy dy = Fyx dxdy + Fyy dy^2 + Fyz dzdy
dFz dz = Fzx dxdz + Fzy dydz + Fzz dz^2

從(x,y,z)沿著(A,B,C)方向移動dt時,dx=Adt, dy=Bdt, dz=Cdt,
dF= (AFx+BFy+CFz) dt
ddF= (A^2 Fxx + B^2 Fyy + C^2 Fzz + 2AB Fxy + 2AC Fxz + 2BC Fyz) (dt)^2 + (AFx+BFy+CFz)(ddt)

欲求F''(t)時,須等距移動ddt=0
ddF/(dt)^2= (A^2 Fxx + B^2 Fyy + C^2 Fzz + 2AB Fxy + 2AC Fxz + 2BC Fyz)
( 此即[A,B,C]T [Hessian] [A,B,C] )

極值出現處必須 Fx=Fy=Fz=0, dF/dt=AFx+BFy+CFz=0, 稱為臨界點
若在某(A,B,C)下此處
F''(t) >0,則為延(A,B,C)移動之極小值,
F''(t) <0,則為延(A,B,C)移動之極大值,
F''(t) =0,則還要看更高階微分為決定

dddF/(dt)^3= (A^3 Fxxx+B^3 Fyyy+ C^3 Fzzz+6ABC Fxyz+3A^2B Fxxy+3A^2C Fxxz+3B^2C Fyyz+3AB^2 Fxyy+3AC^2 Fxzz+3BC^2 Fyzz)

(三)雙變數函數

F(x,y)時,延(A,B,C)移動之
F'(t)  = AFx+BFy
F''(t) = Fxx A^2 + 2 Fxy AB + Fyy B^2
欲知是否可能在某種(A,B)方向移動F''(t)=0,要看其有無實數解
A/B=[-Fxy +- (Fxy^2-FxxFyy)^0.5]/Fxx
Fxy^2-FxxFyy<0 則不論何(A/B)皆不會使F''(t)=0,
  若Fxx>0,F''(t)恆大於0,有最小值;若Fxx<0,F''(t)恆小於0,有最大值
Fxy^2-FxxFyy>0 則某些(A/B)使F''(t)<0,某些使>0, 該處為鞍點
Fxy^2-FxxFyy=0 則有一(A,B)使F''(t)=0, 要看更高階微分為決定