Fourier 轉換圖解

Fourier 轉換圖解

 Fourier 轉換簡圖

PCA(主成份分析)與Kernel PCA筆記

 

PCA(主成份分析)與Kernel PCA筆記

m維空間中有n個點,欲求能使投影至該方向之投影平方和達最大之方向

投影平方和可拆解為m個不同component

kernel PCA時,由於未知內積空間中之X而僅能知(Xx),Kernel M(=XX^T)和M之特徵矩陣(XE)與特徵值對角矩陣R,可由此求特徵投影量

資產配置成本,報酬與波動風險

資產配置成本,報酬與波動風險

摘要

投資人換取定期收益的資產皆需面對市場價格,直接投資換取新生資產時面對廠房機具等市場價格,間接投資換取既存資產(股權,債權)時面對次級市場股價與債價,而收益可能會隨時間而波動(風險),而不同資產之間收益序列可能會具有共變性,不同投資組合造成個別資產不同的邊際風險比例,投資人為使等成本等報酬下波動風險降到最低,將會調整個別資產比例使各資產報酬對價扣除市場價格後之風險溢價正比於邊際風險比,這些最適比例將在平均報酬與風險平面上形成風險前沿,然後投資人依照個別風險偏好選擇風險前沿曲線上的某一點投資.資產持有人出讓資產定價時,則需考慮出價後買方的相應的資產配置比例,都某項資產供需不平衡時需加減價,直到所有資產都能賣出的定價.而資產市場中多數人具有雙面性,既是買方也是賣方,資產市場價格均衡時所有人願意購買的所有個別資產數目總和應該要等於所有既存資產的數目. 在假設各種參數可數字化的情況下,以下敘述具體數學方法求取買方基於市價最佳配置,賣方出脫資產定價方法 .

先來看看二元資產的範例圖示,

令資產X的平均報酬1標準差1,資產Y平均報酬2標準差√2, X與Y相關係數0.35

若沿著等投資成本線(藍線)上移動,在A點時報酬最差,往B點移動過程,等報酬線逐漸升高,等風險線降低,到達B點(藍紅線相切處)時風險降到最低,再往C點前進報酬繼續上升,但風險也上升 

再來用三元資產推導計算最佳配置比例的方法

當然可由此推展到n項資產的n維矩陣

而當n項資產之間互相獨立時

n項資產等成本下,報酬與風險曲線

當然如果有一項資產零變動風險(固定報酬不隨時間變化),
該項資產在共變矩陣[V]中的整行列皆變為0,使[V]^(-1)不存在,
也就是說等風險面的法向量空間將會少掉一個維度,
使的某些法向量之切面不存在,然後同一等風險空間中多點之切面具有相同法向量 ,
導致無法用法向量直接求極值點,因為會是無解或者無限多組解

市場均衡後,個別資產與資產組合m之共變與資產報酬形成線性相關,但此相關在市場進入新資產後將會產生新組合m'與新共變,新線性相關參數

賣方出脫資產定價

賣方要把所有既存資產賣掉必須調整資產相對價格
使資產配置前沿通過市面所有既存資產的總報酬與波動風險那點

即個別資產定價必須是市場總合資產組合時邊際風險與報酬的線性組合,
也就是說定價中包括報酬正貢獻與邊際風險負貢獻兩部分

crtzengweb@gmail.com

cot x 展開成雙向無限調和數列

cot x 展開成雙向無限調和數列

cot x = 1/(x-nπ)+ ...+ 1/(x-π)+1/x+1/(x+π)+...+1/(x+nπ) 其中n趨近無限大

反過來說
sum(1/(k+a))= π cot (aπ)

藥物濃度走向穩定態

 藥物濃度走向穩定態

https://docs.google.com/spreadsheets/d/15WunQSgjZrwJjJQYuV380X30erSv8Q9J8QgODjb_FKo/edit?usp=sharing

從出廠藥物含量平均與標準差計算穩定狀態體內尖峰量平均與標準差

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[統計學隨筆] 自由度(degree of freedom, df)

[統計學隨筆] 自由度(degree of freedom, df)

學生物統計時開始接觸這個名詞,但腦中總是似懂非懂的,和數學概念總是連不起來,特別是竟然自由度竟然還能加加減減

這邊先從3維取樣空間當範例,然後再推廣到n維空間

再來是分兩組取樣,分別取3次與2次形成的5維空間,然後再推廣到m組共取n次的n維空間狀況

以上是自由度概念的來源

r >> g 貧富差距,然後呢? 該怎麼辦?

r >> g 貧富差距,然後呢? 該怎麼辦?

先說結論,和 Piketty 相反, 我認為不但不該課徵資產稅, 反而應該降低資產稅鼓勵儲蓄與資本擴大再生產. 再來說說理由,

首先,
在合理的K與L構成的固定規模報酬生產函數,資本相對勞動上升會讓資本邊際生產量下降,勞動邊際生產量上升,反之,資本相對勞動下降會讓資本邊際生產量上升,勞動邊際生產量下降
r= dY/dK - 資本折舊率,故會隨資本邊際生產量升降
對勞動者來說,如果不用自己儲蓄,又能讓資本家把r全部再投入資本,社會資本存量當然越高越好

資產稅的課徵,減少投資的誘因,資本需求下降連帶使借貸利率下降,減少大家儲蓄意願,增加消費意願,結果是供給減少,需求增加,差別(累進)資產稅的課徵固然可減少衝擊,但一來資產較多的人再投資對社會資本存量增加更有效率,二來有些產業需達一定規模才能達到固定規模報酬

回顧歷史,許多大規模戰爭過後, 資本存量都會大幅下降, 試問與戰前相比 r 是降低還是上升? 不難想像戰後的r相對戰前會大幅增加,至於戰爭中間的r該怎麼算是另一個問題,因人口被轉移到軍隊,有效勞動人口的下降可能讓r下降,但另一方面戰爭龐大的物資需求可讓r上升,另方面,戰爭中武力直接資本的破壞雖造成資本存量縮減,但並不是自然折舊所造成

再看20世紀共產主義國家開動"走資"前後的變化,特別是中國在政治穩定下一發動走資,由於r遠大於g,當然造成貧富差距增加,但不但使先投資的變有錢,窮人也變有錢生活品質提升,難道因為r>>g會造成貧富差距擴大,中國人會希望中國繼續貧窮下去?

每次工業革命和新技術發明前後,也造成r突然升高, r >> g , 然後貧富差距增加, 難道人類甘於技術永遠不進步,繼續過上古時代的原始生活?
r >> g 造成貧富差距無庸置疑, 社會上永遠有人先知先覺, 有人後知後覺,新技術新發明出來以後先知道的人先投資,當然會先有錢,而且比後來的有錢,就像任何新武器被發明以後,當然造成軍事平衡被破壞,但是當所有人都拿到新武器後,又會回到平衡狀態,這邊當然會產生一個問題,就是在所有人拿到新武器前,就是可能落後的部落會被先佔者給滅絕掉,但解決的方案絕對不是也不可能防止新武器,新技術,新發明出現,即便美洲原住民不可能防止歐洲人科技前進,相反的是要讓落後的部落在被先佔者滅絕前可以拿到新武器恢復平衡才是正辦,也就是讓沒有資本的人盡快得到資本,沒有新技術新發明的文化圈盡快得到新技術新發明

每次新技術新發明還有一個好處, 就是對已知不可增加的天然資本(如工業革命前的農地)依賴性降低,前面的非天然資本可以透過"擴大再生產"的行為增加資本存量,進一步降低r到接近於g,生產工具私有也可以讓人人都有,而農業社會最重大的資本就是農地,隨著人口增加,農地邊際產量與報酬會不斷上升,可是農地無法增加,農地r與g的距離會越來越大,這就是天然資本(土地與礦產)與非天然資本最大的區別,天然生產工具無法讓人人都有,工業革命讓佔地不大的工廠生產出的工業品效用,可以抵過好多倍土地才能生產出農作物的效用

由於可擴大性不同,政府針對天然資本與非天然資本造成的r>>g應該採用不同方法,
天然資本可以私有,但衍生經濟利益應該公有,政府應該定期精算天然資本邊際報酬,將天然資本收益全數收入國庫
非天然資本部分,應該勵民眾儲蓄與資本家擴大再投資的行為,以加速資本的普及性與總存量增加,讓r降低g上升,r逐漸接近於g
無形資本部分,法令應避免過度的智慧財產權/專利權保護,政府也應成立有公信力的產品資訊公開平台,避免品牌效應造成的貧富不均

那r=g甚至r<g後該怎麼辦?
此時全球經濟體應該是陷入通縮狀態,
所謂鳥盡弓藏兔死狗烹,杯酒釋兵權的時候到了
資產稅,特別是累進資產稅,來個財富大洗牌,一方面降低貧富差距,另方面刺激消費

總之,
r>>g 反映的是資本匱乏, 社會有求於資本家, 宜推行資本主義(但天然資本報酬應公有)
r<<g時, 資本家有求於社會, 宜推行共產主義

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