總合效用 (Aggregate utility)

總合效用(AU, Aggregate utility):

互相獨立之不同消費效用水平加總

反函數

若x1=g(y1),y1=h(x1),g,h為反函數
x1=g(y1)=x1=g(h(x1))
dx1=g'(y1)dy1=g'(y1)h'(x1)dx1則g'(y1)h'(x1)=1
g'(h(x1))=1/h'(x1)

現有X1...Xn,Y1...Yn,其中Xi=Gi(Yi),Yi=Hi(Yi)

水平加總

當Y1=...=Yi=Yn=Y, X=X1+X2+...+Xn
X(Y)=X1+X2+...+Xn=G1(Y)+G2(Y)+...+Gn(Y)
dX/dY=G1'(Y)+G2'(Y)+...+Gn'(Y)

垂直加總

當X1=...=Xi=Xn=X, Y=Y1+Y2+...+Yn
Y(X)=Y1+Y2+...+Yn=H1(X)+H2(X)+...+Hn(X)
dY/dX=H1'(X)+H2'(X)+...+Hn'(X)

總合效用

當U1...Un為各自獨立之效用時,U=U1(X1)+U2(X2)+...+Un(Xn)
dU=U1'(X1)dX1+U2'(X2)dX2+...+Un'(Xn)dXn
而C1...Cn為各自花費,C=C1(X1)+C2(X2)+...+Cn(Xn)
dC=C1'(X1)dX1+C2'(X2)dX2+...+Cn'(Xn)dXn
限制預算下最大效用時
C1'(X1)/U1'(X1)=C2'(X2)/U2'(X2)=...=Cn'(Xn)/Un'(Xn)=κ

令κi(Xi)=dCi/dUi=Ci'(Xi)/Ui'(Xi)則須κ1(X1)=κ2(X2)=...=κn(Xn)=κ
假定任意Ui可找到反函數使Xi=Vi(Ui),
又當商品價格固定,Ci'(Xi)=Pi,Ci"(Xi)=0
κi=Ci'(Xi)/Ui'(Vi(Ui))= Pi Vi'(Ui)
可作出各獨立消費品i於縱軸為κi橫軸為效用Ui之圖
κ1=κ2=...=κn=κ下,U=U1+U2+...+Un
總合效用AU為κi=κi(Ui)之水平加總(下圖紅線)

紅線上任意點為(總效用U,效用邊際價格κ),
總花費為紅線下總效用從0至U之積分面積