雙資本三生產函數資本均衡配置不存在?

 

雙資本三生產函數資本均衡配置不存在?

no capital equilibrium to triple production function and double capital ?

K1+K2+K3=K
L1+L2+L3=L
產品Y1,Y2,Y3單價P1,P2,P3
欲最大化產值須使
P1δY1/δK1=P2δY2/δK2=P3δY3/δK3......(1)
P1δY1/δL1=P2δY2/δL2=P3δY3/δL3......(2)
若皆Cobb-Douglas函數
Y1=c1 K1^a1 L1^b1
Y2=c2 K2^a2 L2^b2
Y3=c3 K3^a3 L3^b3
兩式相除(1)/(2)
a1/b1 L1/K1=a2/b2 L2/K2=a3/b3 L3/K3=1/t
則K1=a1/b1 L1 t, K2=a2/b2 L2 t, K3=a3/b3 L3 t
Y1= c1 (a1/b1 t)^a1 L1^(a1+b1)
Y2= c2 (a2/b2 t)^a2 L2^(a2+b2)
Y3= c3 (a3/b3 t)^a3 L3^(a3+b3)
代回(2)
P1 b1 c1 (a1/b1 t)^a1 L1^(a1+b1-1)
=P2 b2 c2 (a2/b2 t)^a2 L2^(a2+b2-1)
=P3 b3 c3 (a3/b3 t)^a3 L3^(a3+b3-1)
若三者皆為規模報酬不變a1+b1=a2+b2=a3+b3=1
P1 b1 c1 (a1/b1 t)^a1 =P2 b2 c2 (a2/b2 t)^a2 =P3 b3 c3 (a3/b3 t)^a3
P1 c1 a1^a1 b1^b1 t^a1 =P2 c2 a2^a2 b2^b2 t^a2 =P3 c3 a3^a3 b3^b3 t^a3
由P1 c1 a1^a1 b1^b1 t^a1 =P2 c2 a2^a2 b2^b2 t^a2 得t=t1,
由P2 c2 a2^a2 b2^b2 t^a2 =P3 c3 a3^a3 b3^b3 t^a3 得t=t2,
t1不一定會等於t2, 無均衡配置?

動態配置過程迴圈

若a1+b1=a2+b2=a3+b3=1
給定L1,L2,L3套用(1)式而令=1/t
P1a1c1 K1^(a1-1) L1^b1=P2a2c2 K2^(a2-1) L2^b2=P3a3c3 K3^(a3-1) L1^b3=1/t
K1= L1 (P1a1c1 t)^(1/(1-a1))
K2= L2 (P2a2c2 t)^(1/(1-a2))
K3= L3 (P3a3c3 t)^(1/(1-a3))
由K=K1+K2+K3可解出t代回而得K1,K2,K3
再給定此組K套用(2)式而令=1/s
L1= K1 (P1b1c1 s)^(1/(1-b1))
L2= K2 (P2b2c2 s)^(1/(1-b2))
L3= K2 (P3b3c3 s)^(1/(1-b3))
又可由L=L1+L2+L3解出s代回而得L1,L2,L3
然後再套用(1)形成迴圈


實例:
若a1=0.2,a2=0.5,a3=0.8,P1c1=P2c2=P3c3=1,K=3,L=6
K1= L1 (a1 t)^(1.25)
K2= L2 (a2 t)^(2)
K3= L3 (a3 t)^(5)
由K=K1+K2+K3可解出t代回而得K1,K2,K3
再給定此組K套用(2)式
L1= K1 (b1 s)^(5)
L2= K2 (b2 s)^(2)
L3= K3 (b3 s)^(1.25)

由(L1,L2,L3)=(2,2,2)開始
t=1.23568, (K1,K2,K3)=(0.34850,0.76345,1.88803)
s=2.08816, (L1,L2,L3)=(4.53387,0.83224,0.63387)
t=1.49219, (K1,K2,K3)=(1.00008,0.46327,1.53664)
s=1.74075, (L1,L2,L3)=(5.23804,0.35095,0.41094)
t=1.61777, (K1,K2,K3)=(1.27821,0.22963,1.49216)
s=1.67123, (L1,L2,L3)=(5.46051,0.16034,0.37923)
t=1.65093, (K1,K2,K3)=(1.33250,0.10491,1.37701)
s=1.66452, (L1,L2,L3)=(5.69243,0.07325,0.34996)
t=1.67250, (K1,K2,K3)=(1.44808,0.05123,1.50072)
s=1.63792, (L1,L2,L3)=(5.59379,0.03436,0.37192)
t=1.66530, (K1,K2,K3)=(1.41533,0.02382,1.56087)
s=1.64549, (L1,L2,L3)=(5.59481,0.01612,0.38906)
t=1.65523, (K1,K2,K3)=(1.40490,0.01104,1.58403)
s=1.64805, (L1,L2,L3)=(5.59690,0.00750,0.39561)
(K2,L2)趨近於(0,0),Y2最後停止生產,
(K3,L3)趨近於(1.6,0.4),
(K1,L1)趨近於(1.4,5.6)

1/t為K邊際產值,1/s為L邊際產值


  

等效用線與均衡交易價格比

等效用線與均衡交易價格比

 

上圖為兩財貨X與Y數量形成的坐標平面,
藍曲線為等效用線(IC,indifference curve),
紅直線為預算限制線(budget line)也是交易線(trade line)
假設X價格為Px,Y價格為Py,以|ΔX|數量的X財貨交換|ΔY|數量的Y財貨,
則交易發生時 PxΔX + PxΔY =0 (X交換Y者,ΔX為負ΔY為正)
(Px,Py)・(ΔX,ΔY)=0 在座標平面形成過(X,Y)而以(Px,Py)為法向量的交易後可能線
當該交易線與等效用線相切時,該處形成交易後最佳效用,
圖中H為某甲生產的(X,Y),延交易線而交易到E處(僅此圖)時,有最佳效用,
形成之交易需求可以HE向量表示.

當市場價格比改變後,交易線斜率改變,同樣交易前的H,交易後到達A點有最佳效用,
但此最佳效用比之前價格下的最佳效用差,交易需求以HA向量表示.

 生產量於J點且效用函數相同的某乙在市場上出現,延交易線移到E點時有最佳效用,
某乙會以Y換X,交易需求以JE向量表示,
若市場上只有某甲和某乙兩人,此價格比下兩方需求向量長度不同(|JE|>|HA|),
加總後會有多餘以Y換X的需求,將使X價格上升,Y價格下降,而讓交易線斜率變陡.

交易線如果變太陡,(|JE|<|HA|),需求向量加總後會有多餘以X換Y的需求,
將使Y價格上升,X價格下降,而讓交易線斜率變平緩.

交易線斜率適當時,(|JE|=|HA|),向量加總後為0,為此時為均衡交易價格比,
若效用函數為齊次函數V(x,y)的函數U(V(x,y)),K點表示甲乙的產量總和,
則過K之等效用線於K處之切線斜率與均衡價格交易線斜率相同.

生產量於M點且效用函數相同的某丙進入市場,延交易線移到P點時有最佳效用,
交易需求以MP向量表示,均衡交易價格要使向量和 JE+HA+MP=0 才能成立,
此圖K點表示甲乙丙的產量總和,過K之等效用線於K處之切線斜率與均衡價格交易線斜率相同.

三財貨X,Y,Z的狀況

(Px,Py,Pz)・(ΔX,ΔY,ΔZ)=0 在立體座標形成過(X,Y,Z)而以(Px,Py,Pz)為法向量的交易可能平面

(1) n次齊次方程性質
若效用函數U(V(X,Y,Z)),其中V(X,Y,Z)為n次齊次方程,則有 V(kX,kY,kZ)=k^n V(X,Y,Z),
且 {(kX,kY,kZ)處(Vx,Vy,Vz)}=k^(n-1){(X,Y,Z)處(Vx,Vy,Vz)}
又 dU(V(X,Y,Z))=U'(V(X,Y,Z))(Vx dX+ Vy dY+Vz dZ)k^n U'(k^n V(X,Y,Z))(Vx dX+ Vy dY+Vz dZ)=dU(k^n V(X,Y,Z))=dU(V(kX,kY,kZ))
=U'(V(kX,kY,kZ))(Vkx d(kX)+ Vky d(kY)+Vkz d(kZ))=kU'(k^n V(X,Y,Z))(Vkx dX+ Vky dY+Vkz dZ)
則 (Vkx,Vky,Vkz)=k^(n-1) (Vx,Vy,Vz)

(Ukx,Uky,Ukz)=k^n U'(k^n V(X,Y,Z))(Vx,Vy,Vz)
(Ux,Uy,Uz)= U'(V(X,Y,Z))(Vx,Vy,Vz)
(Ukx,Uky,Ukz)=k^n {U'(k^n V(X,Y,Z))/U'(V(X,Y,Z))} (Ux,Uy,Uz)

可知若(X,Y,Z)處(Ux,Uy,Uz)= t (Px,Py,Pz)
則(kX,kY,kZ)處(Ukx,Uky,Ukz)= {t k^n U'(k^n V(X,Y,Z))/U'(V(X,Y,Z))} (Px,Py,Pz)
可知對任意(Px,Py,Pz)欲使 (Ux,Uy,Uz)= t (Px,Py,Pz) 成立,
符合之(X,Y,Z)在一直線上可表為k(Xm,Ym,Zm)=kRm
亦即以(Px,Py,Pz)為法線而切於U之處必為 (kXm,kYm,kZm) 形式

(2) 交易需求
以P(Px,Py,Pz)為法線而過R1(X1,Y1,Z1)而切於U(X,Y,Z)之處
因切點和R1在同平面上,k(Xm,Ym,Zm)・(Px,Py,Pz)=(X1,Y1,Z1)・(Px,Py,Pz)
可得k=(R1・P)/(Rm・P)而求出切點為 (R1・P)/(Rm・P) Rm
某甲交易需求向量(R1至切點) = (R1・P)/(Rm・P) Rm - R1

甲乙丙交易需求向量總和
(R1・P)/(Rm・P) Rm - R1+(R2・P)/(Rm・P) Rm - R2+(R3・P)/(Rm・P) Rm - R3
= ((R1+R2+R3)・P)/(Rm・P) Rm - (R1+R2+R3)
總和要等於0才能均衡,((R1+R2+R3)・P)/(Rm・P) Rm = (R1+R2+R3)
故 Rm 必須平行於 (R1+R2+R3),
故當甲乙丙效用函數相同時且為齊次函數之函數時,
可用(R1+R2+R3)與U相交處切線之法線得出均衡P方向(價格比).

三財貨且不同效用函數的狀況

同樣市場價格P,因甲乙丙之效用函數不同而產生不同Rm向量方向,表為Rm1,Rm2,Rm3,
交易後分別切 U1,U2,U3 於 k1Rm1,k2Rm2,k3Rm3
甲乙丙交易需求向量總和:
(R1・P)/(Rm1・P) Rm1 - R1+(R2・P)/(Rm2・P) Rm2 - R2+(R3・P)/(Rm3・P) Rm3 - R3
均衡時必須:
(R1・P)/(Rm1・P) Rm1 +(R2・P)/(Rm2・P) Rm2 +(R3・P)/(Rm3・P) Rm3 =(R1+R2+R3)
仍可解出均衡價格(但計算過程繁雜)

Cobb-Douglas型效用函數

某甲U(X,Y,Z)=X^a Y^b Z^c, h1=a+b+c<1
(Ux,Uy,Uz)= (aU/X,bU/Y,cU/Z) = U(X,Y,Z) (a/X,b/Y,c/Z)
以(Px,Py,Pz)為法線之平面群切U群處 a/X/Px=b/Y/Py=c/Z/Pz,
得切點群形成直線方向Rm(Xm,Ym,Zm)=t(a/Px,b/Py,c/Pz)
某甲交易需求向量(R1・P)/(Rm・P) Rm - R1
=(PxX1+PyY1+PzZ1)/(a+b+c) (a/Px,b/Py,c/Pz) - (X1,Y1,Z1)
= 1/(a+b+c) ([-(b+c)PxX1+aPyY1+aPzZ1]/Px,[bPxX1-(a+c)PyY1+bPzZ1]/Py,[cPxX1+cPyY1-(a+b)PzZ1]/Pz)

Px單獨上升時,對X財貨需求下降,Y,Z需求皆上升,反之亦然,Py,Pz升降也同理可類推
Px接近∞時,X財貨需求 -(b+c)/(a+b+c) X1為負,某甲想賣掉部分X1, Y和Z財貨需求則變∞
Px接近0時,X財貨需求∞

某乙U(X,Y,Z)=X^d Y^e Z^f, h2=d+e+f<1
某乙交易需求向量(R2・P)/(Rm・P) Rm - R2
= 1/(d+e+f) ([-(e+f)PxX2+dPyY2+dPzZ2]/Px,[ePxX2-(d+f)PyY2+ePzZ2]/Py,[fPxX2+fPyY2-(d+e)PzZ2]/Pz)

由於對甲和乙來說,Px從0到∞可使X財貨需求從正∞開始遞減到0再到負的,
效用函數不同可使到達甲乙零需求之Px不同,當Px在二者之間時,一正一負可發生交易使和為0

生產者利潤,天然資源租,人造資本利得,勞動剩餘與社會總體盈餘

 

生產者利潤,天然資源租,人造資本利得,勞動剩餘與社會總體盈餘

producer profit, natural resource rent, artificial capital rent, labor surplus and social earning

天然資本(natural resource) N,折舊0,地租(rent) r
人造資本(artificial capital) K,折舊(depreciation) j,利率(interest) i
勞動力(Labor) L, 每人最低生存消費及人口折舊w, 每人勞動剩餘(labor surplus) s
其中w=維持生存所需之最低終身消費/平均壽命

(庫存財貨可視為無生產力之人造資本,倉儲過程也會發生折舊減損)

對於社會總體來說,
地租和利息只是生產者支付給天然與人造資本擁有者的社會內轉移,不計入社會成本,
而折舊與最低生存消費則為不可避免支出,計為社會成本,
社會盈餘(πm)= Y - jK - wL
生產者利潤(profit)(πp)= Y - (i+j)K - rN - (w+s)L
勞動剩餘 sL
自然資源擁有者租金 rN
人造資本擁有者利得 iK

社會可支配所得為Y,
但若將全部Y用於消費,將使因折舊與生存消費造成的資本與勞力減損無法回補,
為殺雞取卵的狀況

dY = Yn dN + Yk dK + Yl dL
若Y(N,K,L)規模報酬不變(一次齊次函數),在完全競爭的條件下,
Y = Yn N + Yk K + Yl L

生產者利潤πp最大化時,需使 Yk=i+j, Yl=w+s, Yn=r,
當天然資源有限供過於求時,天然資本擁有者會提高租金r使r=Yn,
πp = Y-(i+j)K-(w+s)L-rN= 0 此時社會剩餘πm= iK + sL + Yn N

社會剩餘πm最大化時, Yk=j, Yl=w, πm =Y-jK-wL= Yn N
亦即必須累積更多人造資本與勞動力使Yk,Yl更低,Yn更高

可見要讓社會剩餘最大化,必須使地盡其利,i=0, s=0,
此時勞工工資為最低生存所需(奴隸級所得),
人造資本擁有者利得為0,
而最大化後之社會剩餘全部為天然資本擁有者所獨吞,
至於天然資本擁有者是誰?
君主時代為君王和封建諸侯,共產主義國家為所有人民,
資本主義國家則為地主,
但國家可用地價稅的形式將部分社會剩餘移轉到公共財

社會剩餘πm一旦達到最大化的境界,
此時將剩餘投資於人造資本或養成增加人口只會減少未來社會剩餘,
社會剩餘只有用在科技研究才能提高生產效率,而更進一步提升社會剩餘

結論:
社會剩餘最大化使天然資本擁有者全拿,
若全數用在科技研究可使未來生產效率大幅提高,
該社會體系因科技與經濟優勢,在未來有同化甚至消滅其他社會體系的能力,
而未來若容許適度社會剩餘次大化,未來勞工也會過得比現代就次佳化的勞工好