筆記: 寡佔之數量決定模型(Cournot & Stackelberg Model)

 

筆記: 寡佔之數量決定模型(Cournot & Stackelberg Model)

X水果從開始種植到收成需要半年時間,採收後貯存超過1個月則會腐爛,
平均每單位成本(含採收運銷)為S, 採收運銷成本H,其中H<<S
市場有n家農家,根據往年資料已知半年後市場需求曲線 P(Q)=a-bQ

供應成本曲線: 個別農家能提供之最大供應量取決於於半年前決定的種植數量
短期: 小於種植數量時MC=H,大於種植數量時MC無限大(再多錢也變不出來)成為垂直線
長期: 不管量多少都能提供,MC=S+H,為一水平線













令各農家種植量Q1,Q2....Qn

市場交易:
短期只要市價P>H,農家會盡量把貨賣完,即使虧本(P<S)
需求線與短期成本垂直線Q=Q1+....+Qn相交處產生交易價格

任一農家種植量都會影響半年後市場價格P(Q)=a-bQ1-bQ2....-bQn

個別農家反應:
第1家農家面對別人的種植量Q2....Qn不同將會採取適當Q1以獲得最佳利潤
MR1 = d(Q1P)/dQ1 = a-2bQ1-bQ2....-bQn 當MR1=S時有最大利潤
故其策略函數選擇Q1使 2Q1+Q2+Q3...+Qn=(a-S)/b
同理第2農家選擇Q2使 Q1+2Q2+Q3...+Qn=(a-S)/b
第n農家選擇Qn使 Q1+Q2+Q3...+2Qn=(a-S)/b

Cournot model

若要找到一組Qi使所有人都不對其他人的Qi改變自己的Qi而獲利時
必須要讓上面n組策略函數聯立,

任兩式相減可知 Q1=Q2=...=Qn
代入1式: (n+1)Q1=(a-S)/b 則Q1=Q2=...=Qn= [(a-S)/b]/(n+1)
市場總產量Qs: [(a-S)/b] n/(n+1)
價格: a-[(a-S)n/(n+1)]= (a+nS)/(n+1)
社會福利: {P(Q)dQ (Q=0 to Qs)}-SQ = aQs-bQs^2/2-SQs = [(1-bQs/(2(a-S))]Qs(a-S)
=Qs(a-S)[1-n/(2(n+1))]= [(a-S)^2/(2b)] n(n+2)/(n+1)^2
農家總利潤: (P-S)Qs= [(a-S)^2/(2b)] [2n/(n+1)^2]
消費者剩餘: (a-P)Qs/2 = [(a-S)^2/(2b)] [n/(n+1)]^2

當n=1即獨佔時市場總產量: [(a-S)/b]/2 價格(a+S)/2 社會福利 3/4 [(a-S)^2/(2b)]
農家總利潤 1/2[(a-S)^2/(2b)] 消費者剩餘 1/4[(a-S)^2/(2b)]

當n非常大時為完全競爭,市場總產量: [(a-S)/b] 價格S 社會福利 [(a-S)^2/(2b)]
農家總利潤 0 消費者剩餘 [(a-S)^2/(2b)]

Stackelberg model:(先發制人法)

若有農家考慮自己選定Qi後他人會按策略函數選Qj,決定讓利不因別人的Qj而再改變自己Qi
而找出此情況下最適Qi

假定第i農家會因之前的農家Q1...Q(i-1)改變Qi,
而不打算應之後的農家Q(i+1)...Qn改變Qi,
在給定Q1....Qn-2後第n-1農家預期第n農家會採取Qn使
Q1+Q2+Q3..+Q(n-1)+2Qn=(a-S)/b 則
Qn=[(a-S)/b-Q1-Q2-Q3..-Q(n-1)]/2

P(Q)=a-b[Q1+Q2+Q3..+Q(n-1)]-b[(a-S)/b-Q1-Q2-Q3..-Q(n-1)]/2
=a-(a-S)/2-0.5b[Q1+Q2+Q3..+Q(n-1)]
MR= a-(a-S)/2-0.5b[Q1+Q2+Q3..+Q(n-2)]-bQ(n-1) 當MR=S時有最大利潤
Q(n-1)=[(a-S)/b-Q1-Q2....-Q(n-2)]/2
同理
Q(n-2)=[(a-S)/b-Q1-Q2....-Q(n-3)]/2
Q2=[(a-S)/b-Q1]/2
Q1=(a-S)/(2b)
Q2=[(a-S)/b-(a-S)/2b]/2=(a-S)/(4b)
Qi=(a-S)/b (0.5)^i
Qn=(a-S)/b (0.5)^n

市場總產量Qs: [(a-S)/b] (1-0.5^n)
價格: a-[(a-S)(1-0.5^n)]= a 0.5^n + S (1-0.5^n)
社會福利: {P(Q)dQ (Q=0 to Qs)}-SQ = aQs-bQs^2/2-SQs = [(1-bQs/(2(a-S))]Qs(a-S)
=Qs(a-S)[1-(1-0.5^n)/2]= [(a-S)^2/(2b)] (1-0.25^n)
農家總利潤: (P-S)Qs= [(a-S)^2/(2b)] [2 0.5^n(1-0.5^n)]
消費者剩餘: (a-P)Qs/2 = [(a-S)^2/(2b)] (1-0.5^n)^2

壟斷傳遞鏈

 

壟斷傳遞鏈

壟斷行為: 藉由決定生產/需求數量來改變產品/要素市場均衡價格以謀取最大利潤的行為

產品 1->2->....->n 價格P1...Pn,
已知第1廠商邊際成本P0(Q),消費者需求Pn(Q)
第i廠商使用第i-1廠商生產的i-1要素1:1生產i
任意廠商i於i市場面對Pi(Q),於i-1市場面對價格P(i-1)(Q)

(一)賣方壟斷傳遞
任意廠商i於(i-1)市場面對前一賣方給價P(i-1),且知道買方需求Pi(Q)
為使利潤最大化 d(QPi(Q)-QP(i-1))/dQ=0 將調整Q使之成立
則P(i-1)(Q)= d(QPi(Q))/dQ = Pi(Q)+QPi'(Q)
同理
P(i-2)(Q)=P(i-1)(Q)+QP(i-1)'(Q)

若Pn(Q)=A0 + A1Q + A2Q^2 +..+ AmQ^m
P(n-1)(Q)=A0 + 2A1Q + 3A2Q^2 +..+ (m+1)AmQ^m
P(n-2)(Q)=A0 + 2^2A1Q + 3^2A2Q^2 +..+ (m+1)^2AmQ^m
P1(Q)=A0 + 2^(n-1)A1Q + 3^(n-1)A2Q^2 +..+ (m+1)^(n-1)AmQ^m
又若成本P0(Q)=B0 + B1Q + B2Q^2 +..+ BmQ^m
d[Q(P1(Q)-P0(Q))]/dQ = (A0-B0) + (2^nA1-2B1)Q + (3^n A2-3B2)Q^2 +..+ [(m+1)^n Am-(m+1)Bm]Q^m
可求出最佳Qo使之為0

(二)買方壟斷傳遞
任意廠商i於i市場面對前一買方給價Pi,且知道買方需求P(i-1)(Q)
為使利潤最大化 d(QPi-QP(i-1)(Q))/dQ=0 將調整Q使之成立
則Pi(Q)= d(QP(i-1)(Q))/dQ = P(i-1)(Q)+QP(i-1)'(Q)
同理P(i+1)(Q)=Pi(Q)+QPi'(Q)

若P0(Q)=B0 + B1Q + B2Q^2 +..+ BmQ^m
P1(Q)=B0 + 2B1Q + 3B2Q^2 +..+ (m+1)BmQ^m
P2(Q)=B0 + 2^2B1Q + 3^2B2Q^2 +..+ (m+1)^2BmQ^m
P(n-1)(Q)=B0 + 2^(n-1)B1Q + 3^(n-1)B2Q^2 +..+ (m+1)^(n-1)BmQ^m

又若消費者需求 Pn(Q)=A0 + A1Q + A2Q^2 +..+ AmQ^m
d[Q(P(n-1)(Q)-Pn(Q))]/dQ = (B0-A0) + (2^nB1-2A1)Q + (3^n B2-3A2)Q^2 +..+ [(m+1)^n Bm-(m+1)Am]Q^m
可求出最佳Qi使之為0

(三)中間商垂直合併
Pn(Q)=A0 + A1Q + A2Q^2 +..+ AmQ^m
P0(Q)=B0 + B1Q + B2Q^2 +..+ BmQ^m
為使Pn'(0)<0,P0'(Q)>0,Pn(0)>P0(0)則A1<0 B1>0 A0>B0

d[Q(Pn(Q)-P0(Q))]/dQ = (B0-A0) + (2B1-2A1)Q + (3B2-3A2)Q^2 +..+ [(m+1)Bm-(m+1)Am]Q^m
可求出最佳Qa使之為0

(四)社會福利
社會福利最佳處Qw使Pn(Q)-P0(Q)=0
(B0-A0) + (B1-A1)Qw + (B2-A2)Qw^2 +..+ [Bm-Am]Qw^m =0

(五)總合
(A0-B0) + (2^nA1-2B1)Qo + (3^n A2-3B2)Qo^2 +..+ [(m+1)^n Am-(m+1)Bm]Qo^m =0
(B0-A0) + (2^nB1-2A1)Qi + (3^n B2-3A2)Qi^2 +..+ [(m+1)^n Bm-(m+1)Am]Qi^m =0
(B0-A0) + (2B1-2A1)Qa + (3B2-3A2)Qa^2 +..+ [(m+1)Bm-(m+1)Am]Qa^m =0

(A0-B0) = (2B1-2^nA1)Qo + (3B2-3^n A2)Qo^2 +..+ [(m+1)Bm-(m+1)^n Am]Qo^m
(A0-B0) = (2^nB1-2A1)Qi + (3^n B2-3A2)Qi^2 +..+ [(m+1)^n Bm-(m+1)Am]Qi^m
(A0-B0) = (2B1-2A1)Qa + (3B2-3A2)Qa^2 +..+ [(m+1)Bm-(m+1)Am]Qa^m
(A0-B0) = (B1-A1)Qw + (B2-A2)Qw^2 +..+ [Bm-Am]Qw^m

當A2=B2=A3=....=0
Qo=(A0-B0)/(2B1+2^n(-A1))
Qi=(A0-B0)/(2^nB1+2(-A1))
Qa=(A0-B0)/(2B1+2(-A1))
Qw=(A0-B0)/(B1+(-A1))
可知 Qo,Qi < Qa < Qw

未整合之多重壟斷企業導致社會福利低於單一垂直整合壟斷企業

存量成本(工資,利息)與商品價格循環

存量成本(工資,利息)與商品價格循環

(快樂正循環) pulling,  Low pressure
商品價格↑ => 生產單位獲利↑ => 勞動資本存量及製程數量↑ =>  (工資,利息)↑ => 家計單位收入增加↑ => 消費量↑ => 商品價格↑

(痛苦正循環) pushing, High pressure
商品價格↑ =>  家計單位消費成本↑ =>   (工資,利息)↑ => 生產單位成本↑ =>  商品價格↑

 (痛苦逆循環) 與 (快樂逆循環) 則將上述 ↑全變 ↓


stock cost(wage,rent) & product price cycling
(happy positive cycle) pulling,  Low pressure
product price↑ => producer profit↑ => factor market demand↑ =>  (wage,rent)↑ => household income↑ => product demand↑ => product price↑

(Suffering positive cycle) pushing, High pressure
product price↑ =>  household consuming cost↑ =>   (wage,rent)↑ => producer cost↑ =>  product price↑

 (suffering negative cycle) and (happy negative cycle) just changes all ↑ above to ↓

Price-Wage harmonic motion

upper left corner: let (gap) Price=0 (gap) Wage=0 springs(left:producer right: household) balance price & wage location
upper middle: set (gap)Price=2x (gap)Wage=0 P'(0)=W'(0)=0
then harmonic motion developed without longterm price wage expansion (rotation)

if set initial condition to  let (gap) Price=Wage=0 P'(0)=2v W'(0)=0
if same mass => mean  velocity= v then longterm price wage expansion(rotation vt) noted with superimposed harmonic motion

 


  

n維角錐及球體積

多維空間角錐

(X>0, X1 + X2 + .... + Xn < U 之體積 U^n / n!)

傳遞引擎:
Y=0 to Z 則 (Z-Y)^k dY = -Z^(k+1) (1-Y/Z)^k d(1-Y/Z) = -Z^(k+1)/(k+1) d (1-Y/Z)^(k+1)
積分得 Z^(k+1)/(k+1)

開始證明:
當X2-Xn已知 => X1 < U- (X2 + .... + Xn) => dX1 => 積分得 U- (X2 + .... + Xn)

當X3-Xn已知 => X2 < U- (X3 + .... + Xn) => (U- (X2 + .... + Xn)) dX2
可令 Z = U- (X3 + .... + Xn), Y=X2, K=1 -> 積分得(U- (X3 + .... + Xn))^2/2

當X4-Xn已知 => X3 < U- (X4 + .... + Xn) => (U- (X3 + .... + Xn))^2/2 dX3
可令 Z = U- (X3 + .... + Xn), Y=X3, K=2 -> 原式變 [(Z-Y)^2 dY ]/2
-> 積分得 [U- (X4 + .... + Xn)]^3/3!

類推至dX(n-1) => (U-Xn)^(n-1)/(n-1)!
最後dXn積完 => 體積 U^n / n!

多維空間球體 (n-sphere)

(X>0, X1^2 + X2^2 + .... + Xn^2 < R^2 之體積再乘上2^n可得球體體積)

背景:

令F(k)為: 1U從0到1積分U^k/[(1-U^2)^0.5] dU
F(0)=1/(1-U^2)^0.5 dU =>令U=cos(t),t從pi/2到0 =>原式 -sin(t)/sin(t) dt = -dt積分為pi/2
F(1)=U/(1-U^2)^0.5 dU = -d [(1-U^2)^0.5] U從0到1積分後為 1

F(k+1) = U^(k+1)/[(1-U^2)^0.5] dU 如下:
當k>0時 d[U^k (1-U^2)^0.5] /dU = k U^(k-1) (1-U^2)^0.5 - U^(k+1)/(1-U^2)^0.5
= [k U^(k-1) (1-U^2) - U^(k+1)]/(1-U^2)^0.5 = [k U^(k-1) -(k+1) U^(k+1)]/(1-U^2)^0.5
又當k>0時U從0到1之 d[U^k (1-U^2)^0.5]積分為1x0-0x1=0
則 U^(k+1)/(1-U^2)^0.5 dU = k^2/[(k+1)k] [ U^(k-1)]/(1-U^2)^0.5 dU ]
若k為奇數 [k(k-2)...3x1]^2/[(k+1)k.....2x1] [ 1/(1-U^2)^0.5 dU ]
F(k+1) = (pi/2) [k(k-2)...3x1]^2/(k+1)!
若k為偶數 [k(k-2)...4x2]^2/[(k+1)k.....3x2] [ U/(1-U^2)^0.5 dU ]
F(k+1) = [k(k-2)...4x2]^2/(k+1)!

F(k)xF(k+1)
不論k為奇數或偶數,F(k)xF(k+1)
= (pi/2) [(k-1)(k-3)...]^2/k! [k(k-2)...]^2/(k+1)!
= (pi/2) (k!)^2/((k+1)(k!)^2) = pi/2/(k+1)
(則F(k+1)= pi/2/(k+1)/F(k) => F(2)= pi/4)

F(1)......F(2h)= (pi/2)^h / [(2h)(2h-2)...x2] = (pi^0.5/2)^(2h) / h!
F(1)......F(2h)F(2h+1)
= (pi/2)^h / [(2h)(2h-2)...x2] x [2h(2h-2)...4x2]^2/(2h+1)!
= (pi/2)^h [2h(2h-2)..4x2]/(2h+1)! = (pi)^h h!/(2h+1)!

傳遞引擎:

Y=0 to Z 則 (Z^2-Y^2)^(k/2) dY = Z^(k+1) (1-(Y/Z)^2)^(k/2) d(Y/Z)
令U=(1-(Y/Z)^2)^0.5 U從1到0,原式成為 Z^(k+1) U^k d (1-U^2)^0.5
U從0到1: Z^(k+1) U^(k+1)/[(1-U^2)^0.5] dU = Z^(k+1) F(k+1)

開始證明:

當X2-Xn已知 => X1 < (R^2- (X2^2 + .... + Xn^2))^0.5 => dX1
=> 積分得 (R^2- (X2^2 + .... + Xn^2))^0.5 F(1)

當X3-Xn已知 => X2 < (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^0.5
=> (R^2- (X2^2 + .... + Xn^2))^0.5 dX2
可令 Z = (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^0.5, Y=X2, K=1
原式成為 (Z^2 - Y^2)^0.5 dY
-> 積分得 (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^(0.5x2) F(1)F(2)

當X4-Xn已知 => X3 < (R^2- (X4^2 + .... + Xn^2))^0.5
=> F(2) (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^(0.5x2) dX3
可令 Z = (R^2- (X4^2 + .... + Xn^2))^0.5, Y=X3, K=2
原式成為 (Z^2 - Y^2)^(0.5x2) dY
-> 積分得 (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^(0.5x3) F(1)F(2)F(3)

當Xn已知 => X(n-1) < (R^2- Xn^2)^0.5
=> [F(1)F(2)...F(n-2)] (R^2- X(n-1)^2- Xn^2)^(0.5x(n-2)) dX(n-1)
可令 Z = (R^2- Xn^2)^0.5, Y=X(n-1), K=(n-2)
原式成為 (Z^2 - Y^2)^(0.5x(n-2)) dY
-> 積分得 (R^2- Xn^2)^(0.5x(n-1)) [F(1)F(2)...F(n-1)]

最後dXn積完 => R^n [F(1)F(2)...F(n)]
總體積 R^n 2^n [F(1)F(2)...F(n)]
若n為奇數 R^n (2^n/n!) [pi^((n-1)/2) x ((n-1)/2)!]
= R^n 2 (2pi)^((n-1)/2) /[n(n-2)....3x1] 係數 2, 4pi/3, 8pi^2/15,..
若n為偶數 R^n pi^(n/2) / (n/2)! 係數 pi, pi^2/2, pi^3/6,..

cholesterol and LDL lowering

使用statin降低之總膽固醇和LDL有相當高之線性相關性
單位: mmol/L
資料來源: Lancet. 2010 November 13; 376(9753): 1670–1681.
Supplementary webappendix: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2988224/bin/mmc1.pdf