筆記: 寡佔之數量決定模型(Cournot & Stackelberg Model)

 

筆記: 寡佔之數量決定模型(Cournot & Stackelberg Model)

X水果從開始種植到收成需要半年時間,採收後貯存超過1個月則會腐爛,
平均每單位成本(含採收運銷)為S, 採收運銷成本H,其中H<<S
市場有n家農家,根據往年資料已知半年後市場需求曲線 P(Q)=a-bQ

供應成本曲線: 個別農家能提供之最大供應量取決於於半年前決定的種植數量
短期: 小於種植數量時MC=H,大於種植數量時MC無限大(再多錢也變不出來)成為垂直線
長期: 不管量多少都能提供,MC=S+H,為一水平線













令各農家種植量Q1,Q2....Qn

市場交易:
短期只要市價P>H,農家會盡量把貨賣完,即使虧本(P<S)
需求線與短期成本垂直線Q=Q1+....+Qn相交處產生交易價格

任一農家種植量都會影響半年後市場價格P(Q)=a-bQ1-bQ2....-bQn

個別農家反應:
第1家農家面對別人的種植量Q2....Qn不同將會採取適當Q1以獲得最佳利潤
MR1 = d(Q1P)/dQ1 = a-2bQ1-bQ2....-bQn 當MR1=S時有最大利潤
故其策略函數選擇Q1使 2Q1+Q2+Q3...+Qn=(a-S)/b
同理第2農家選擇Q2使 Q1+2Q2+Q3...+Qn=(a-S)/b
第n農家選擇Qn使 Q1+Q2+Q3...+2Qn=(a-S)/b

Cournot model

若要找到一組Qi使所有人都不對其他人的Qi改變自己的Qi而獲利時
必須要讓上面n組策略函數聯立,

任兩式相減可知 Q1=Q2=...=Qn
代入1式: (n+1)Q1=(a-S)/b 則Q1=Q2=...=Qn= [(a-S)/b]/(n+1)
市場總產量Qs: [(a-S)/b] n/(n+1)
價格: a-[(a-S)n/(n+1)]= (a+nS)/(n+1)
社會福利: {P(Q)dQ (Q=0 to Qs)}-SQ = aQs-bQs^2/2-SQs = [(1-bQs/(2(a-S))]Qs(a-S)
=Qs(a-S)[1-n/(2(n+1))]= [(a-S)^2/(2b)] n(n+2)/(n+1)^2
農家總利潤: (P-S)Qs= [(a-S)^2/(2b)] [2n/(n+1)^2]
消費者剩餘: (a-P)Qs/2 = [(a-S)^2/(2b)] [n/(n+1)]^2

當n=1即獨佔時市場總產量: [(a-S)/b]/2 價格(a+S)/2 社會福利 3/4 [(a-S)^2/(2b)]
農家總利潤 1/2[(a-S)^2/(2b)] 消費者剩餘 1/4[(a-S)^2/(2b)]

當n非常大時為完全競爭,市場總產量: [(a-S)/b] 價格S 社會福利 [(a-S)^2/(2b)]
農家總利潤 0 消費者剩餘 [(a-S)^2/(2b)]

Stackelberg model:(先發制人法)

若有農家考慮自己選定Qi後他人會按策略函數選Qj,決定讓利不因別人的Qj而再改變自己Qi
而找出此情況下最適Qi

假定第i農家會因之前的農家Q1...Q(i-1)改變Qi,
而不打算應之後的農家Q(i+1)...Qn改變Qi,
在給定Q1....Qn-2後第n-1農家預期第n農家會採取Qn使
Q1+Q2+Q3..+Q(n-1)+2Qn=(a-S)/b 則
Qn=[(a-S)/b-Q1-Q2-Q3..-Q(n-1)]/2

P(Q)=a-b[Q1+Q2+Q3..+Q(n-1)]-b[(a-S)/b-Q1-Q2-Q3..-Q(n-1)]/2
=a-(a-S)/2-0.5b[Q1+Q2+Q3..+Q(n-1)]
MR= a-(a-S)/2-0.5b[Q1+Q2+Q3..+Q(n-2)]-bQ(n-1) 當MR=S時有最大利潤
Q(n-1)=[(a-S)/b-Q1-Q2....-Q(n-2)]/2
同理
Q(n-2)=[(a-S)/b-Q1-Q2....-Q(n-3)]/2
Q2=[(a-S)/b-Q1]/2
Q1=(a-S)/(2b)
Q2=[(a-S)/b-(a-S)/2b]/2=(a-S)/(4b)
Qi=(a-S)/b (0.5)^i
Qn=(a-S)/b (0.5)^n

市場總產量Qs: [(a-S)/b] (1-0.5^n)
價格: a-[(a-S)(1-0.5^n)]= a 0.5^n + S (1-0.5^n)
社會福利: {P(Q)dQ (Q=0 to Qs)}-SQ = aQs-bQs^2/2-SQs = [(1-bQs/(2(a-S))]Qs(a-S)
=Qs(a-S)[1-(1-0.5^n)/2]= [(a-S)^2/(2b)] (1-0.25^n)
農家總利潤: (P-S)Qs= [(a-S)^2/(2b)] [2 0.5^n(1-0.5^n)]
消費者剩餘: (a-P)Qs/2 = [(a-S)^2/(2b)] (1-0.5^n)^2