人口論: 均衡之路

人口論: 均衡之路

相對於資本累積上有梭羅模型,人口累積也有極限,
差異在於生產者可以理性決定是否要投資讓消費財轉成資本財,
古代的社會因為沒有方便的節育方法,
無法理性決定是否要讓人口來到這社會

話說古時有個奴農王國,
國王下面有一群奴隸人數L,
這些奴隸在成人可投入生產之前會吃掉Pl=v的糧食,
成人後每天至少要吃w的糧食才能保持體力,
成人務農生產函數Y=CL^b
該群農奴折舊(死傷)率j(/年)
假定國王固定提撥s比例的盈餘來引入新勞動力,
人口L會如何成長呢?

dL/dt=s(Y-wL)/v-jL=(s/v)CL^b-(ws/v+j)L

若b=1(無天然資源限制)
dL/dt=s(Y-wL)/v-jL=(sC/v-ws/v-j)L
L=L0 e^((sC/v-ws/v-j)t)
不論s多大,如同馬爾薩斯的人口論, L成幾何級數成長(或下降)

若b<1(有天然資源或資本限制)
dL^(1-b)/dt=(1-b)L^(-b) dL/dt=(1-b)[(s/v)C-(ws/v+j)L^(1-b)]
=-(1-b)(ws/v+j)[L^(1-b)-sC/(ws+vj)]
則L^(1-b)-sC/(ws+vj)=Xe^(-(1-b)(ws/v+j)t)
L = [X e^(-(1-b)(ws/v+j)t) + sC/(ws+vj)]^(1/(1-b))
如同資本梭羅模型一般,
L最後趨近均衡飽和值 [sC/(ws+vj)]^(1/(1-b))

上面是計畫人口的結果,
那如果農奴生出小孩超出糧食預算怎辦?
那些小孩沒糧食吃可能就餓死了,
畢竟這些奴隸小孩沒有發動戰爭的能力,
更不用說古時候小孩被視為父母的財產

當然歷史沒這樣簡單,
生產函數Y=CL^b中的C值會受到氣候變化和農耕技術影響,
當水旱災突然發生時,C和飽和L值突然大幅下降,
新均衡L低於原先均衡L,
成人突然沒有了食物,就可能會發生內部革命或對外戰爭