rotating source in Galileo coordinate?
When wavelength fixed, frequency is proportional to velocity
2012年12月22日 星期六
2012年12月19日 星期三
2012年12月14日 星期五
極值與鞍點
極值與鞍點
(一)單變數函數
Taylor展開式: F(x)=F(k)+F'(k)(x-k)+F"(k)/2! (x-k)^2+F'''(k)/3! (x-k)^3+......當F(k+dk)=F(k)+F'(k)dk+F"(k)/2! dk^2+F'''(k)/3! dk^3+......
若F在x=k處有極值須F'(k)=0(稱臨界點)且(F(k+dk)-F(k))(F(k-dk)-F(k))>0
當dk->0則dk<<(dk)^2<<(dk)^3<<.......
則F(k+dk)-F(k)=F"(k)/2! dk^2+F'''(k)/3! dk^3+......
若其中F'''''(k)為第一項>0者,則
F(k+dk)-F(k) -> F'''''(k)/5! (dk)^5
F(k-dk)-F(k) -> F'''''(k)/5! (-dk)^5
(F(k+dk)-F(k))(F(k-dk)-F(k))-> (-1)^5 (F'''''(k)/5! (dk)^5)^2 <0 為反曲點
所以當第一個>0的是2n階導數時(-1)^(2n)>0才有極值,該導數>0為極小值,<0為極大值
(二)三變數函數
dF(x,y,z)=Fx dx + Fy dy + Fz dzdFx=Fxx dx + Fxy dy + Fxz dz
dFy=Fyx dx + Fyy dy + Fyz dz
dFz=Fzx dx + Fzy dy + Fzz dz
ddF(x,y,z)=(dFx dx + dFy dy + dFz dz) + (Fx ddx + Fy ddy + Fz ddz)
dFx dx = Fxx dx^2 + Fxy dxdy + Fxz dxdz
dFy dy = Fyx dxdy + Fyy dy^2 + Fyz dzdy
dFz dz = Fzx dxdz + Fzy dydz + Fzz dz^2
從(x,y,z)沿著(A,B,C)方向移動dt時,dx=Adt, dy=Bdt, dz=Cdt,
dF= (AFx+BFy+CFz) dt
ddF= (A^2 Fxx + B^2 Fyy + C^2 Fzz + 2AB Fxy + 2AC Fxz + 2BC Fyz) (dt)^2 + (AFx+BFy+CFz)(ddt)
欲求F''(t)時,須等距移動ddt=0
ddF/(dt)^2= (A^2 Fxx + B^2 Fyy + C^2 Fzz + 2AB Fxy + 2AC Fxz + 2BC Fyz)
( 此即[A,B,C]T [Hessian] [A,B,C] )
極值出現處必須 Fx=Fy=Fz=0, dF/dt=AFx+BFy+CFz=0, 稱為臨界點
若在某(A,B,C)下此處
F''(t) >0,則為延(A,B,C)移動之極小值,
F''(t) <0,則為延(A,B,C)移動之極大值,
F''(t) =0,則還要看更高階微分為決定
dddF/(dt)^3= (A^3 Fxxx+B^3 Fyyy+ C^3 Fzzz+6ABC Fxyz+3A^2B Fxxy+3A^2C Fxxz+3B^2C Fyyz+3AB^2 Fxyy+3AC^2 Fxzz+3BC^2 Fyzz)
(三)雙變數函數
F(x,y)時,延(A,B,C)移動之F'(t) = AFx+BFy
F''(t) = Fxx A^2 + 2 Fxy AB + Fyy B^2
欲知是否可能在某種(A,B)方向移動F''(t)=0,要看其有無實數解
A/B=[-Fxy +- (Fxy^2-FxxFyy)^0.5]/Fxx
Fxy^2-FxxFyy<0 則不論何(A/B)皆不會使F''(t)=0,
若Fxx>0,F''(t)恆大於0,有最小值;若Fxx<0,F''(t)恆小於0,有最大值
Fxy^2-FxxFyy>0 則某些(A/B)使F''(t)<0,某些使>0, 該處為鞍點
Fxy^2-FxxFyy=0 則有一(A,B)使F''(t)=0, 要看更高階微分為決定
2012年11月29日 星期四
筆記: 寡佔之數量決定模型(Cournot & Stackelberg Model)
筆記: 寡佔之數量決定模型(Cournot & Stackelberg Model)
X水果從開始種植到收成需要半年時間,採收後貯存超過1個月則會腐爛,
平均每單位成本(含採收運銷)為S, 採收運銷成本H,其中H<<S
市場有n家農家,根據往年資料已知半年後市場需求曲線 P(Q)=a-bQ
供應成本曲線: 個別農家能提供之最大供應量取決於於半年前決定的種植數量
短期: 小於種植數量時MC=H,大於種植數量時MC無限大(再多錢也變不出來)成為垂直線
長期: 不管量多少都能提供,MC=S+H,為一水平線
令各農家種植量Q1,Q2....Qn
市場交易:
短期只要市價P>H,農家會盡量把貨賣完,即使虧本(P<S)
需求線與短期成本垂直線Q=Q1+....+Qn相交處產生交易價格
任一農家種植量都會影響半年後市場價格P(Q)=a-bQ1-bQ2....-bQn
個別農家反應:
第1家農家面對別人的種植量Q2....Qn不同將會採取適當Q1以獲得最佳利潤
MR1 = d(Q1P)/dQ1 = a-2bQ1-bQ2....-bQn 當MR1=S時有最大利潤
故其策略函數選擇Q1使 2Q1+Q2+Q3...+Qn=(a-S)/b
同理第2農家選擇Q2使 Q1+2Q2+Q3...+Qn=(a-S)/b
第n農家選擇Qn使 Q1+Q2+Q3...+2Qn=(a-S)/b
Cournot model
若要找到一組Qi使所有人都不對其他人的Qi改變自己的Qi而獲利時必須要讓上面n組策略函數聯立,
任兩式相減可知 Q1=Q2=...=Qn
代入1式: (n+1)Q1=(a-S)/b 則Q1=Q2=...=Qn= [(a-S)/b]/(n+1)
市場總產量Qs: [(a-S)/b] n/(n+1)
價格: a-[(a-S)n/(n+1)]= (a+nS)/(n+1)
社會福利: {P(Q)dQ (Q=0 to Qs)}-SQ = aQs-bQs^2/2-SQs = [(1-bQs/(2(a-S))]Qs(a-S)
=Qs(a-S)[1-n/(2(n+1))]= [(a-S)^2/(2b)] n(n+2)/(n+1)^2
農家總利潤: (P-S)Qs= [(a-S)^2/(2b)] [2n/(n+1)^2]
消費者剩餘: (a-P)Qs/2 = [(a-S)^2/(2b)] [n/(n+1)]^2
當n=1即獨佔時市場總產量: [(a-S)/b]/2 價格(a+S)/2 社會福利 3/4 [(a-S)^2/(2b)]
農家總利潤 1/2[(a-S)^2/(2b)] 消費者剩餘 1/4[(a-S)^2/(2b)]
當n非常大時為完全競爭,市場總產量: [(a-S)/b] 價格S 社會福利 [(a-S)^2/(2b)]
農家總利潤 0 消費者剩餘 [(a-S)^2/(2b)]
Stackelberg model:(先發制人法)
若有農家考慮自己選定Qi後他人會按策略函數選Qj,決定讓利不因別人的Qj而再改變自己Qi而找出此情況下最適Qi
假定第i農家會因之前的農家Q1...Q(i-1)改變Qi,
而不打算應之後的農家Q(i+1)...Qn改變Qi,
在給定Q1....Qn-2後第n-1農家預期第n農家會採取Qn使
Q1+Q2+Q3..+Q(n-1)+2Qn=(a-S)/b 則
Qn=[(a-S)/b-Q1-Q2-Q3..-Q(n-1)]/2
P(Q)=a-b[Q1+Q2+Q3..+Q(n-1)]-b[(a-S)/b-Q1-Q2-Q3..-Q(n-1)]/2
=a-(a-S)/2-0.5b[Q1+Q2+Q3..+Q(n-1)]
MR= a-(a-S)/2-0.5b[Q1+Q2+Q3..+Q(n-2)]-bQ(n-1) 當MR=S時有最大利潤
Q(n-1)=[(a-S)/b-Q1-Q2....-Q(n-2)]/2
同理
Q(n-2)=[(a-S)/b-Q1-Q2....-Q(n-3)]/2
Q2=[(a-S)/b-Q1]/2
Q1=(a-S)/(2b)
Q2=[(a-S)/b-(a-S)/2b]/2=(a-S)/(4b)
Qi=(a-S)/b (0.5)^i
Qn=(a-S)/b (0.5)^n
市場總產量Qs: [(a-S)/b] (1-0.5^n)
價格: a-[(a-S)(1-0.5^n)]= a 0.5^n + S (1-0.5^n)
社會福利: {P(Q)dQ (Q=0 to Qs)}-SQ = aQs-bQs^2/2-SQs = [(1-bQs/(2(a-S))]Qs(a-S)
=Qs(a-S)[1-(1-0.5^n)/2]= [(a-S)^2/(2b)] (1-0.25^n)
農家總利潤: (P-S)Qs= [(a-S)^2/(2b)] [2 0.5^n(1-0.5^n)]
消費者剩餘: (a-P)Qs/2 = [(a-S)^2/(2b)] (1-0.5^n)^2
2012年11月24日 星期六
壟斷傳遞鏈
壟斷傳遞鏈
壟斷行為: 藉由決定生產/需求數量來改變產品/要素市場均衡價格以謀取最大利潤的行為
產品 1->2->....->n 價格P1...Pn,
已知第1廠商邊際成本P0(Q),消費者需求Pn(Q)
第i廠商使用第i-1廠商生產的i-1要素1:1生產i
任意廠商i於i市場面對Pi(Q),於i-1市場面對價格P(i-1)(Q)
(一)賣方壟斷傳遞
任意廠商i於(i-1)市場面對前一賣方給價P(i-1),且知道買方需求Pi(Q)
為使利潤最大化 d(QPi(Q)-QP(i-1))/dQ=0 將調整Q使之成立
則P(i-1)(Q)= d(QPi(Q))/dQ = Pi(Q)+QPi'(Q)
同理
P(i-2)(Q)=P(i-1)(Q)+QP(i-1)'(Q)
若Pn(Q)=A0 + A1Q + A2Q^2 +..+ AmQ^m
P(n-1)(Q)=A0 + 2A1Q + 3A2Q^2 +..+ (m+1)AmQ^m
P(n-2)(Q)=A0 + 2^2A1Q + 3^2A2Q^2 +..+ (m+1)^2AmQ^m
P1(Q)=A0 + 2^(n-1)A1Q + 3^(n-1)A2Q^2 +..+ (m+1)^(n-1)AmQ^m
又若成本P0(Q)=B0 + B1Q + B2Q^2 +..+ BmQ^m
d[Q(P1(Q)-P0(Q))]/dQ = (A0-B0) + (2^nA1-2B1)Q + (3^n A2-3B2)Q^2 +..+ [(m+1)^n Am-(m+1)Bm]Q^m
可求出最佳Qo使之為0
(二)買方壟斷傳遞
任意廠商i於i市場面對前一買方給價Pi,且知道買方需求P(i-1)(Q)
為使利潤最大化 d(QPi-QP(i-1)(Q))/dQ=0 將調整Q使之成立
則Pi(Q)= d(QP(i-1)(Q))/dQ = P(i-1)(Q)+QP(i-1)'(Q)
同理P(i+1)(Q)=Pi(Q)+QPi'(Q)
若P0(Q)=B0 + B1Q + B2Q^2 +..+ BmQ^m
P1(Q)=B0 + 2B1Q + 3B2Q^2 +..+ (m+1)BmQ^m
P2(Q)=B0 + 2^2B1Q + 3^2B2Q^2 +..+ (m+1)^2BmQ^m
P(n-1)(Q)=B0 + 2^(n-1)B1Q + 3^(n-1)B2Q^2 +..+ (m+1)^(n-1)BmQ^m
又若消費者需求 Pn(Q)=A0 + A1Q + A2Q^2 +..+ AmQ^m
d[Q(P(n-1)(Q)-Pn(Q))]/dQ = (B0-A0) + (2^nB1-2A1)Q + (3^n B2-3A2)Q^2 +..+ [(m+1)^n Bm-(m+1)Am]Q^m
可求出最佳Qi使之為0
(三)中間商垂直合併
Pn(Q)=A0 + A1Q + A2Q^2 +..+ AmQ^m
P0(Q)=B0 + B1Q + B2Q^2 +..+ BmQ^m
為使Pn'(0)<0,P0'(Q)>0,Pn(0)>P0(0)則A1<0 B1>0 A0>B0
d[Q(Pn(Q)-P0(Q))]/dQ = (B0-A0) + (2B1-2A1)Q + (3B2-3A2)Q^2 +..+ [(m+1)Bm-(m+1)Am]Q^m
可求出最佳Qa使之為0
(四)社會福利
社會福利最佳處Qw使Pn(Q)-P0(Q)=0
(B0-A0) + (B1-A1)Qw + (B2-A2)Qw^2 +..+ [Bm-Am]Qw^m =0
(五)總合
(A0-B0) + (2^nA1-2B1)Qo + (3^n A2-3B2)Qo^2 +..+ [(m+1)^n Am-(m+1)Bm]Qo^m =0
(B0-A0) + (2^nB1-2A1)Qi + (3^n B2-3A2)Qi^2 +..+ [(m+1)^n Bm-(m+1)Am]Qi^m =0
(B0-A0) + (2B1-2A1)Qa + (3B2-3A2)Qa^2 +..+ [(m+1)Bm-(m+1)Am]Qa^m =0
(A0-B0) = (2B1-2^nA1)Qo + (3B2-3^n A2)Qo^2 +..+ [(m+1)Bm-(m+1)^n Am]Qo^m
(A0-B0) = (2^nB1-2A1)Qi + (3^n B2-3A2)Qi^2 +..+ [(m+1)^n Bm-(m+1)Am]Qi^m
(A0-B0) = (2B1-2A1)Qa + (3B2-3A2)Qa^2 +..+ [(m+1)Bm-(m+1)Am]Qa^m
(A0-B0) = (B1-A1)Qw + (B2-A2)Qw^2 +..+ [Bm-Am]Qw^m
當A2=B2=A3=....=0
Qo=(A0-B0)/(2B1+2^n(-A1))
Qi=(A0-B0)/(2^nB1+2(-A1))
Qa=(A0-B0)/(2B1+2(-A1))
Qw=(A0-B0)/(B1+(-A1))
可知 Qo,Qi < Qa < Qw
未整合之多重壟斷企業導致社會福利低於單一垂直整合壟斷企業
2012年11月21日 星期三
存量成本(工資,利息)與商品價格循環
存量成本(工資,利息)與商品價格循環
(快樂正循環) pulling, Low pressure
商品價格↑ => 生產單位獲利↑ => 勞動資本存量及製程數量↑ => (工資,利息)↑ => 家計單位收入增加↑ => 消費量↑ => 商品價格↑
(痛苦正循環) pushing, High pressure
商品價格↑ => 家計單位消費成本↑ => (工資,利息)↑ => 生產單位成本↑ => 商品價格↑
(痛苦逆循環) 與 (快樂逆循環) 則將上述 ↑全變 ↓
stock cost(wage,rent) & product price cycling
(happy positive cycle) pulling, Low pressure
product price↑ => producer profit↑ => factor market demand↑ => (wage,rent)↑ => household income↑ => product demand↑ => product price↑
(Suffering positive cycle) pushing, High pressure
product price↑ => household consuming cost↑ => (wage,rent)↑ => producer cost↑ => product price↑
(suffering negative cycle) and (happy negative cycle) just changes all ↑ above to ↓
Price-Wage harmonic motion
upper left corner: let (gap) Price=0 (gap) Wage=0 springs(left:producer right: household) balance price & wage location
upper middle: set (gap)Price=2x (gap)Wage=0 P'(0)=W'(0)=0
then harmonic motion developed without longterm price wage expansion (rotation)
if set initial condition to let (gap) Price=Wage=0 P'(0)=2v W'(0)=0
if same mass => mean velocity= v then longterm price wage expansion(rotation vt) noted with superimposed harmonic motion
2012年11月10日 星期六
n維角錐及球體積
多維空間角錐
(X>0, X1 + X2 + .... + Xn < U 之體積 U^n / n!)傳遞引擎:
Y=0 to Z 則 (Z-Y)^k dY = -Z^(k+1) (1-Y/Z)^k d(1-Y/Z) = -Z^(k+1)/(k+1) d (1-Y/Z)^(k+1)
積分得 Z^(k+1)/(k+1)
開始證明:
當X2-Xn已知 => X1 < U- (X2 + .... + Xn) => dX1 => 積分得 U- (X2 + .... + Xn)
當X3-Xn已知 => X2 < U- (X3 + .... + Xn) => (U- (X2 + .... + Xn)) dX2
可令 Z = U- (X3 + .... + Xn), Y=X2, K=1 -> 積分得(U- (X3 + .... + Xn))^2/2
當X4-Xn已知 => X3 < U- (X4 + .... + Xn) => (U- (X3 + .... + Xn))^2/2 dX3
可令 Z = U- (X3 + .... + Xn), Y=X3, K=2 -> 原式變 [(Z-Y)^2 dY ]/2
-> 積分得 [U- (X4 + .... + Xn)]^3/3!
類推至dX(n-1) => (U-Xn)^(n-1)/(n-1)!
最後dXn積完 => 體積 U^n / n!
多維空間球體 (n-sphere)
(X>0, X1^2 + X2^2 + .... + Xn^2 < R^2 之體積再乘上2^n可得球體體積)背景:
令F(k)為: 1U從0到1積分U^k/[(1-U^2)^0.5] dUF(0)=1/(1-U^2)^0.5 dU =>令U=cos(t),t從pi/2到0 =>原式 -sin(t)/sin(t) dt = -dt積分為pi/2
F(1)=U/(1-U^2)^0.5 dU = -d [(1-U^2)^0.5] U從0到1積分後為 1
F(k+1) = U^(k+1)/[(1-U^2)^0.5] dU 如下:
當k>0時 d[U^k (1-U^2)^0.5] /dU = k U^(k-1) (1-U^2)^0.5 - U^(k+1)/(1-U^2)^0.5
= [k U^(k-1) (1-U^2) - U^(k+1)]/(1-U^2)^0.5 = [k U^(k-1) -(k+1) U^(k+1)]/(1-U^2)^0.5
又當k>0時U從0到1之 d[U^k (1-U^2)^0.5]積分為1x0-0x1=0
則 U^(k+1)/(1-U^2)^0.5 dU = k^2/[(k+1)k] [ U^(k-1)]/(1-U^2)^0.5 dU ]
若k為奇數 [k(k-2)...3x1]^2/[(k+1)k.....2x1] [ 1/(1-U^2)^0.5 dU ]
F(k+1) = (pi/2) [k(k-2)...3x1]^2/(k+1)!
若k為偶數 [k(k-2)...4x2]^2/[(k+1)k.....3x2] [ U/(1-U^2)^0.5 dU ]
F(k+1) = [k(k-2)...4x2]^2/(k+1)!
F(k)xF(k+1)
不論k為奇數或偶數,F(k)xF(k+1)
= (pi/2) [(k-1)(k-3)...]^2/k! [k(k-2)...]^2/(k+1)!
= (pi/2) (k!)^2/((k+1)(k!)^2) = pi/2/(k+1)
(則F(k+1)= pi/2/(k+1)/F(k) => F(2)= pi/4)
F(1)......F(2h)= (pi/2)^h / [(2h)(2h-2)...x2] = (pi^0.5/2)^(2h) / h!
F(1)......F(2h)F(2h+1)
= (pi/2)^h / [(2h)(2h-2)...x2] x [2h(2h-2)...4x2]^2/(2h+1)!
= (pi/2)^h [2h(2h-2)..4x2]/(2h+1)! = (pi)^h h!/(2h+1)!
傳遞引擎:
Y=0 to Z 則 (Z^2-Y^2)^(k/2) dY = Z^(k+1) (1-(Y/Z)^2)^(k/2) d(Y/Z)令U=(1-(Y/Z)^2)^0.5 U從1到0,原式成為 Z^(k+1) U^k d (1-U^2)^0.5
U從0到1: Z^(k+1) U^(k+1)/[(1-U^2)^0.5] dU = Z^(k+1) F(k+1)
開始證明:
當X2-Xn已知 => X1 < (R^2- (X2^2 + .... + Xn^2))^0.5 => dX1=> 積分得 (R^2- (X2^2 + .... + Xn^2))^0.5 F(1)
當X3-Xn已知 => X2 < (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^0.5
=> (R^2- (X2^2 + .... + Xn^2))^0.5 dX2
可令 Z = (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^0.5, Y=X2, K=1
原式成為 (Z^2 - Y^2)^0.5 dY
-> 積分得 (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^(0.5x2) F(1)F(2)
當X4-Xn已知 => X3 < (R^2- (X4^2 + .... + Xn^2))^0.5
=> F(2) (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^(0.5x2) dX3
可令 Z = (R^2- (X4^2 + .... + Xn^2))^0.5, Y=X3, K=2
原式成為 (Z^2 - Y^2)^(0.5x2) dY
-> 積分得 (R^2- (X3^2 + .... + Xn^2))^(0.5x3) F(1)F(2)F(3)
當Xn已知 => X(n-1) < (R^2- Xn^2)^0.5
=> [F(1)F(2)...F(n-2)] (R^2- X(n-1)^2- Xn^2)^(0.5x(n-2)) dX(n-1)
可令 Z = (R^2- Xn^2)^0.5, Y=X(n-1), K=(n-2)
原式成為 (Z^2 - Y^2)^(0.5x(n-2)) dY
-> 積分得 (R^2- Xn^2)^(0.5x(n-1)) [F(1)F(2)...F(n-1)]
最後dXn積完 => R^n [F(1)F(2)...F(n)]
總體積 R^n 2^n [F(1)F(2)...F(n)]
若n為奇數 R^n (2^n/n!) [pi^((n-1)/2) x ((n-1)/2)!]
= R^n 2 (2pi)^((n-1)/2) /[n(n-2)....3x1] 係數 2, 4pi/3, 8pi^2/15,..
若n為偶數 R^n pi^(n/2) / (n/2)! 係數 pi, pi^2/2, pi^3/6,..
2012年11月5日 星期一
cholesterol and LDL lowering
單位: mmol/L
資料來源: Lancet. 2010 November 13; 376(9753): 1670–1681.
Supplement
2012年10月28日 星期日
jacobian 二維座標轉換積分
前言
vector a x b : vector a sweeps in direction of vector b creates the area
0=(ai+bj)x(ai+bj)=ab (i x j + j x i) => i x j = - j x i
vector(a,b) moved as vector (c,d) painted green area
green area=blue-yellow=orange-pink=ad-bc
類 jacobian 二維座標轉換積分
for U(x,y), V(x,y)
dU = Ux dx + Uy dy
dV = Vx dx + Vy dy
Assume:
U(x,y)=U, V(x,y)=V cross at (x0,y0)
U(x,y)=U+dU, V(x,y)=V cross at (x0+dx1,y0+dy1)
U(x,y)=U, V(x,y)=V+dV cross at (x0+dx2,y0+dy2)
Ux dx1 + Uy dy1= dU
Vx dx1 + Vy dy1= 0
Ux dx2 + Uy dy2= 0
Vx dx2 + Vy dy2= dV
let S= UxVy - VxUy
(dx1,dy1)= (Vy/S dU , -Vx/S dU)
(dx2,dy2)= (Uy/S dV , Ux/S dV)
Area(面積) = ad - bc = (dx1 dy2) - (dy1 dx2)
= (Vy/S dU) x (Ux/S dV) - (-Vx/S dU) x (Uy/S dV) = (UxVy - VxUy)/S^2 dU dV = 1/S dU dV
for S= UxVy - VxUy , 1/S is jacobian directly (直接就是jacobian)
Conclusion:
When U moves dU, and V moves dV, the area in U-V plane is dU dVwhich projected to area of 1/(UxVy - VxUy) dU dV in X-Y plane
座標轉換(一次聯立方程求解)與行列式(面積,體積) Cramer's rule
2D 面積比求新座標 (二元一次聯立方程求解)
以原座標體系向量A(Ax,Ay),B(Bx,By)做為新座標體系單位向量預將原座標體系之向量C(Cx,Cy)轉換成新座標(Da,Db)
(Cx,Cy)= C = DaA + DbB = (DaAx + DbBx , DaAy + DbBy)
AxDa + BxDb = Cx
AyDa + ByDb = Cy
座標轉換等於求取上面二元一次聯立方程Da,Db解
C沿著平行於B的方向交A之處即為A上分量DaA
C沿著平行於A的方向交B之處即為B上分量DbB
A和C圍成黃色平行四邊形,與同高之A與DbB圍成平行四邊形相等面積
而A和B圍成藍色平行四邊形
預知Db=DbB/B可由 (A x DbB)/(A x B) =(A x C)/(A x B)=黃色面積/藍色面積
而面積可表為二向量放入形成之行列式
Db=(A x C)/(A x B)=Δb/Δ
|Ax Cx| |Ax Bx|
|Ay Cy| / |Ay By|
同理Da=紅色面積/藍色面積= (C x B)/(A x B)=Δa/Δ
|Cx Bx| |Ax Bx|
|Cy By| / |Ay By|
基本上
分母則為所有新座標軸形成之行列式
分子就是以待轉換向量代位分母行列式中欲求參數所屬之新座標軸向量
3D體積比求新座標 (三元一次聯立方程求解)
以原座標體系向量A(Ax,Ay,Az),B(Bx,By,Bz),C(Cx,Cy,Cz)做為新座標體系單位向量預將原座標體系之向量D(Dx,Dy,Dz)轉換成新座標(Ea,Eb,Ec)
AxEa + BxEb + CxEc = Dx
AyEa + ByEb + CyEc = Dy
AzEa + BzEb + CzEc = Dz
座標轉換等於求取上面三元一次聯立方程Ea,Eb,Ec解
D沿著平行於AB平面的方向交C之處即為C上分量EcC
AB平面和D圍成紅色平行體,與同高之AB平面與EcC圍成平行體相等體積
預知Ec=EcAB/CAB可由 (A x B x EcC)/(AxBxC) =(AxBxD)/(AxBxC)=紅色體積/藍色體積
而體積可表為三向量放入形成之行列式
Ec=(AxBxD)/(AxBxC)=Δc/Δ
|Ax Bx Dx| |Ax Bx Cx|
|Ay By Dy| / |Ay By Cy|
|Az Bz Dz| |Az Bz Cz|
同理可得Ea,Eb
2012年10月20日 星期六
Straitified utility function of consumer
Utility means conception of brains to stimuli of various products
via external sensory receptors(visual, auditory, olfactory, taste, .....)
and internal receptors to sense body composition(sugar, osmolality, effective circulating volume...)
There are plenty of neural conection to integrate these stimuli to a single aggregate utility.
Assume:
Product P1,P2,.......,Pm with consuming amount Q1,Q2,.......,Qm
substitutible functional pre-utilities: food(S1), cloth(S2), house(S3), .... , recreation(Sn)
each product Pj contributes Si with Aij x Qj
Matrix Aij
A11 A12..A1j...A1m
A21 A22..A2j...A2m
.....
Ai1 Ai2..Aij...Aim
.....
An1 An2..Anj...Anm
Then, consuming matrix Q, pre-utility matrix S, Matrix Aij, have relation
A x Q = S
apply Cobb-Douglas function to S , then
aggregate U = c S1^k1 S2^K2 ..... Sn^Kn
furthermores, input-output model for producing sectors may be applied to
neural "utility sectors" to deal with various intermediate "utility products"
via external sensory receptors(visual, auditory, olfactory, taste, .....)
and internal receptors to sense body composition(sugar, osmolality, effective circulating volume...)
There are plenty of neural conection to integrate these stimuli to a single aggregate utility.
Assume:
Product P1,P2,.......,Pm with consuming amount Q1,Q2,.......,Qm
substitutible functional pre-utilities: food(S1), cloth(S2), house(S3), .... , recreation(Sn)
each product Pj contributes Si with Aij x Qj
Matrix Aij
A11 A12..A1j...A1m
A21 A22..A2j...A2m
.....
Ai1 Ai2..Aij...Aim
.....
An1 An2..Anj...Anm
Then, consuming matrix Q, pre-utility matrix S, Matrix Aij, have relation
A x Q = S
apply Cobb-Douglas function to S , then
aggregate U = c S1^k1 S2^K2 ..... Sn^Kn
furthermores, input-output model for producing sectors may be applied to
neural "utility sectors" to deal with various intermediate "utility products"
2012年10月19日 星期五
Cobb–Douglas生產函數最佳淨產出
Cobb–Douglas生產函數F = c K^a L^b
令借貸利率i, 資本折舊(自然衰減)率j,單位勞工薪資W
資本存量成本包括利息成本iK和資本折舊(自然衰減)成本jK
勞工成本WL
淨產出獲利Y = 總產出 - 總成本 = f - (i+j)K - WL
dY = dF - (i+j)dK - W dL
而dF = Fk dK + Fl dl (Fk表F對K之偏微分,Fl表F對L之偏微分)
帶入則 dY = (Fk-(i+j)) dK + (Fl-W) dL
故若要使Y達極值, 需找出K,L使 Fk=(i+j);Fl=W 二者皆要成立
Cobb–Douglas生產函數之 Fk = (a/K)F , Fl = (b/L)F
K=(a/(i+j))F, L=(b/W)F 代回 F = c K^a L^b
F= c (a/(i+j))^a (b/W)^b F^(a+b)
得極值下之F
F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^(a/(1-a-b)) (b/W)^(b/(1-a-b))
K=(a/(i+j))F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^((1-b)/(1-a-b)) (b/W)^(b/(1-a-b))
L=(b/W)F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^(a/(1-a-b)) (b/W)^((1-a)/(1-a-b))
此時
資金成本 aF 其中利率成本 [ai/(i+j)] F 資本折舊成本 [aj/(i+j)] F
勞工工資成本 bF
總成本 (a+b)F
生產單位可獲取利潤(淨產出)Y = F- (a+b)F = (1-a-b)F
那此F為最大或最小值呢?
a+b>1時該值為同成本下F最大,但不同成本下F最小值(Y,K,L之3D圖呈馬鞍形)
a+b<1時該值為F為最大值,即最佳狀況
當市場需求超越或不足此F時, (成本之物資不一定從自產成品來)
等生產(F)線須滿足: Fk dK + Fl dL
等成本線須滿足: (i+j)dK - W dL
二者相切之處: (a/K)/(i+j)=(b/L)/W 令其=r
=> K= [a/(i+j)]r, L= [b/W]r, 總成本=(a+b)r ,
F= c [a/(i+j)]^a [b/W]^b r^(a+b) = c [a/(i+j)]^a [b/W]^b (a+b)^(-(a+b)) (總成本)^(a+b)
此時 r= c^(1/(a+b)) [a/(i+j)]^(a/(a+b)) [b/W]^(b/(a+b)) F^(1/(a+b))
令 s=c [a/(i+j)]^a [b/W]^b => r= (sF)^(1/(a+b))
資金成本 a(sF)^(1/(a+b)) 其中利率成本 [ai/(i+j)] (sF)^(1/(a+b)) 資本折舊成本 [aj/(i+j)] (sF)^(1/(a+b)) 勞工工資成本 b(sF)^(1/(a+b)) 總成本 (a+b)(sF)^(1/(a+b))
生產單位可獲取利潤(淨產出)Y = F- (sF)^(1/(a+b))
dY/d(成本) = dF/d(成本) -1 = dF/d[(a+b)r] = c [a/(i+j)]^a [b/W]^b r^(a+b-1) -1
故a+b<1 (Y''<0) 曲線凹向下,Y有最大值,a+b>1(Y''>0)曲線凹向上,
當a+b=1 (Y''=0) Y為直線
當a+b>1, r越大成本佔率越低,生產單位純益佔率越高
當a+b<1, r越大成本佔率越高,生產單位純益佔率越低
當a+b=1, r越大,成本佔率及生產單位純益佔率固定
當a+b=1則利率i=aF/K-j,K太大會讓實質利率i變負的
假定Q=cK^0.5 L^0.5, Q(t)=Q0 (cos(ht))^2,(Q在0-1之間波動,平均0.5)
C = rK + wL,
單位K(元),L(人),r(貨/元-月),w(貨/人-月),C(貨/月),Q0(貨/月),c(貨/月-(元-人)^0.5), h(/月)
預選定長期(T->∞)不動之K使平均成本t=0~T,(∫(C dt))/T 最低
L(t)=(Q/c)^2/K= (Q0/c)^2 (cos(ht))^4/K
又 (T->∞)則(∫[(cos(ht))^4 d(ht)])/(hT) = 3/8
(∫(C dt))/T= (∫(rK + wL)dt)/T = rK + w/K (Q0/c)^2(∫[(cos(ht))^4 dt])/T = rK + 3/8 (Q0/c)^2 w/K
d( rK + 3/8 w/K )/dK= r - 3/8 (Q0/c)^2 w/K^2 =0 則 K= (Q0/c) (3w/(8r))^0.5
在非波動下,(Q=0 則 K=0),(Q=0.5Q0 則 K=0.25Q0/r),(Q=Q0 則 K=0.5Q0/r),
同樣平均Q=0.5Q0下,波動K/非波動K=((3w/(8r))^0.5/c)/(0.25/r)=(6rw/c^2)^0.5
rw> c^2/6則波動K>非波動K,rw < c^2/6則波動K<非波動K
非波動下 AC=rK+wL=0.5Q0
波動下AC= rK+ 3/8 (Q0/c)^2 w/K = (Q0/c)(3wr/8)^0.5 + (Q0/c)(3rw/8)^0.5 = 0.5 (Q0/c)(6rw)^0.5
rw < c^2/6則波動總成本下降,生產者有盈餘
令借貸利率i, 資本折舊(自然衰減)率j,單位勞工薪資W
資本存量成本包括利息成本iK和資本折舊(自然衰減)成本jK
勞工成本WL
淨產出獲利Y = 總產出 - 總成本 = f - (i+j)K - WL
dY = dF - (i+j)dK - W dL
而dF = Fk dK + Fl dl (Fk表F對K之偏微分,Fl表F對L之偏微分)
帶入則 dY = (Fk-(i+j)) dK + (Fl-W) dL
故若要使Y達極值, 需找出K,L使 Fk=(i+j);Fl=W 二者皆要成立
Cobb–Douglas生產函數之 Fk = (a/K)F , Fl = (b/L)F
K=(a/(i+j))F, L=(b/W)F 代回 F = c K^a L^b
F= c (a/(i+j))^a (b/W)^b F^(a+b)
得極值下之F
F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^(a/(1-a-b)) (b/W)^(b/(1-a-b))
K=(a/(i+j))F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^((1-b)/(1-a-b)) (b/W)^(b/(1-a-b))
L=(b/W)F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^(a/(1-a-b)) (b/W)^((1-a)/(1-a-b))
此時
資金成本 aF 其中利率成本 [ai/(i+j)] F 資本折舊成本 [aj/(i+j)] F
勞工工資成本 bF
總成本 (a+b)F
生產單位可獲取利潤(淨產出)Y = F- (a+b)F = (1-a-b)F
那此F為最大或最小值呢?
a+b>1時該值為同成本下F最大,但不同成本下F最小值(Y,K,L之3D圖呈馬鞍形)
a+b<1時該值為F為最大值,即最佳狀況
當市場需求超越或不足此F時, (成本之物資不一定從自產成品來)
等生產(F)線須滿足: Fk dK + Fl dL
等成本線須滿足: (i+j)dK - W dL
二者相切之處: (a/K)/(i+j)=(b/L)/W 令其=r
=> K= [a/(i+j)]r, L= [b/W]r, 總成本=(a+b)r ,
F= c [a/(i+j)]^a [b/W]^b r^(a+b) = c [a/(i+j)]^a [b/W]^b (a+b)^(-(a+b)) (總成本)^(a+b)
此時 r= c^(1/(a+b)) [a/(i+j)]^(a/(a+b)) [b/W]^(b/(a+b)) F^(1/(a+b))
令 s=c [a/(i+j)]^a [b/W]^b => r= (sF)^(1/(a+b))
資金成本 a(sF)^(1/(a+b)) 其中利率成本 [ai/(i+j)] (sF)^(1/(a+b)) 資本折舊成本 [aj/(i+j)] (sF)^(1/(a+b)) 勞工工資成本 b(sF)^(1/(a+b)) 總成本 (a+b)(sF)^(1/(a+b))
生產單位可獲取利潤(淨產出)Y = F- (sF)^(1/(a+b))
dY/d(成本) = dF/d(成本) -1 = dF/d[(a+b)r] = c [a/(i+j)]^a [b/W]^b r^(a+b-1) -1
故a+b<1 (Y''<0) 曲線凹向下,Y有最大值,a+b>1(Y''>0)曲線凹向上,
當a+b=1 (Y''=0) Y為直線
 |
| 橫軸為r, F=c'r^(a+b), 成本=(a+b)r |
當a+b>1, r越大成本佔率越低,生產單位純益佔率越高
當a+b<1, r越大成本佔率越高,生產單位純益佔率越低
當a+b=1, r越大,成本佔率及生產單位純益佔率固定
當a+b=1則利率i=aF/K-j,K太大會讓實質利率i變負的
需求為波動時
當各時間點競爭市場需求為波動時,假定Q=cK^0.5 L^0.5, Q(t)=Q0 (cos(ht))^2,(Q在0-1之間波動,平均0.5)
C = rK + wL,
單位K(元),L(人),r(貨/元-月),w(貨/人-月),C(貨/月),Q0(貨/月),c(貨/月-(元-人)^0.5), h(/月)
預選定長期(T->∞)不動之K使平均成本t=0~T,(∫(C dt))/T 最低
L(t)=(Q/c)^2/K= (Q0/c)^2 (cos(ht))^4/K
又 (T->∞)則(∫[(cos(ht))^4 d(ht)])/(hT) = 3/8
(∫(C dt))/T= (∫(rK + wL)dt)/T = rK + w/K (Q0/c)^2(∫[(cos(ht))^4 dt])/T = rK + 3/8 (Q0/c)^2 w/K
d( rK + 3/8 w/K )/dK= r - 3/8 (Q0/c)^2 w/K^2 =0 則 K= (Q0/c) (3w/(8r))^0.5
在非波動下,(Q=0 則 K=0),(Q=0.5Q0 則 K=0.25Q0/r),(Q=Q0 則 K=0.5Q0/r),
同樣平均Q=0.5Q0下,波動K/非波動K=((3w/(8r))^0.5/c)/(0.25/r)=(6rw/c^2)^0.5
rw> c^2/6則波動K>非波動K,rw < c^2/6則波動K<非波動K
非波動下 AC=rK+wL=0.5Q0
波動下AC= rK+ 3/8 (Q0/c)^2 w/K = (Q0/c)(3wr/8)^0.5 + (Q0/c)(3rw/8)^0.5 = 0.5 (Q0/c)(6rw)^0.5
rw < c^2/6則波動總成本下降,生產者有盈餘
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