Cobb–Douglas生產函數最佳淨產出

Cobb–Douglas生產函數F = c K^a L^b
令借貸利率i, 資本折舊(自然衰減)率j,單位勞工薪資W
資本存量成本包括利息成本iK和資本折舊(自然衰減)成本jK
勞工成本WL

淨產出獲利Y = 總產出 - 總成本 =  f - (i+j)K - WL
dY = dF - (i+j)dK - W dL
而dF = Fk dK + Fl dl (Fk表F對K之偏微分,Fl表F對L之偏微分)
帶入則 dY = (Fk-(i+j)) dK + (Fl-W) dL
故若要使Y達極值, 需找出K,L使 Fk=(i+j);Fl=W 二者皆要成立

Cobb–Douglas生產函數之 Fk = (a/K)F , Fl = (b/L)F
K=(a/(i+j))F, L=(b/W)F 代回 F = c K^a L^b
F= c (a/(i+j))^a (b/W)^b F^(a+b)
得極值下之F
F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^(a/(1-a-b)) (b/W)^(b/(1-a-b))
K=(a/(i+j))F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^((1-b)/(1-a-b)) (b/W)^(b/(1-a-b))
L=(b/W)F= c^(1/(1-a-b)) (a/(i+j))^(a/(1-a-b)) (b/W)^((1-a)/(1-a-b))


此時
資金成本 aF 其中利率成本 [ai/(i+j)] F 資本折舊成本 [aj/(i+j)] F
勞工工資成本 bF
總成本 (a+b)F
生產單位可獲取利潤(淨產出)Y = F- (a+b)F = (1-a-b)F

那此F為最大或最小值呢?
a+b>1時該值為同成本下F最大,但不同成本下F最小值(Y,K,L之3D圖呈馬鞍形)
a+b<1時該值為F為最大值,即最佳狀況

當市場需求超越或不足此F時, (成本之物資不一定從自產成品來)
等生產(F)線須滿足: Fk dK + Fl dL
等成本線須滿足: (i+j)dK - W dL
二者相切之處: (a/K)/(i+j)=(b/L)/W 令其=r
=> K= [a/(i+j)]r, L= [b/W]r, 總成本=(a+b)r ,
F= c [a/(i+j)]^a [b/W]^b r^(a+b) = c [a/(i+j)]^a [b/W]^b (a+b)^(-(a+b)) (總成本)^(a+b)

此時 r= c^(1/(a+b)) [a/(i+j)]^(a/(a+b)) [b/W]^(b/(a+b)) F^(1/(a+b)) 
令 s=c [a/(i+j)]^a [b/W]^b => r=  (sF)^(1/(a+b)) 
資金成本 a(sF)^(1/(a+b))  其中利率成本 [ai/(i+j)] (sF)^(1/(a+b)) 資本折舊成本 [aj/(i+j)] (sF)^(1/(a+b)) 勞工工資成本 b(sF)^(1/(a+b)) 總成本 (a+b)(sF)^(1/(a+b))
生產單位可獲取利潤(淨產出)Y = F- (sF)^(1/(a+b))


dY/d(成本) = dF/d(成本) -1 = dF/d[(a+b)r] = c [a/(i+j)]^a [b/W]^b r^(a+b-1) -1
故a+b<1 (Y''<0) 曲線凹向下,Y有最大值,a+b>1(Y''>0)曲線凹向上,
當a+b=1 (Y''=0) Y為直線

橫軸為r, F=c'r^(a+b), 成本=(a+b)r

當a+b>1, r越大成本佔率越低,生產單位純益佔率越高
當a+b<1, r越大成本佔率越高,生產單位純益佔率越低
當a+b=1, r越大,成本佔率及生產單位純益佔率固定

當a+b=1則利率i=aF/K-j,K太大會讓實質利率i變負的

需求為波動時

當各時間點競爭市場需求為波動時,
假定Q=cK^0.5 L^0.5, Q(t)=Q0 (cos(ht))^2,(Q在0-1之間波動,平均0.5)
C = rK + wL,
單位K(元),L(人),r(貨/元-月),w(貨/人-月),C(貨/月),Q0(貨/月),c(貨/月-(元-人)^0.5), h(/月)
預選定長期(T->∞)不動之K使平均成本t=0~T,(∫(C dt))/T 最低
L(t)=(Q/c)^2/K= (Q0/c)^2 (cos(ht))^4/K
又 (T->∞)則(∫[(cos(ht))^4 d(ht)])/(hT) = 3/8
(∫(C dt))/T= (∫(rK + wL)dt)/T = rK + w/K (Q0/c)^2(∫[(cos(ht))^4 dt])/T = rK + 3/8 (Q0/c)^2 w/K
d( rK + 3/8 w/K )/dK= r - 3/8 (Q0/c)^2 w/K^2 =0 則 K= (Q0/c) (3w/(8r))^0.5

在非波動下,(Q=0 則 K=0),(Q=0.5Q0 則 K=0.25Q0/r),(Q=Q0 則 K=0.5Q0/r),
同樣平均Q=0.5Q0下,波動K/非波動K=((3w/(8r))^0.5/c)/(0.25/r)=(6rw/c^2)^0.5
rw> c^2/6則波動K>非波動K,rw < c^2/6則波動K<非波動K

非波動下 AC=rK+wL=0.5Q0
波動下AC= rK+ 3/8 (Q0/c)^2 w/K = (Q0/c)(3wr/8)^0.5 + (Q0/c)(3rw/8)^0.5 = 0.5 (Q0/c)(6rw)^0.5
rw < c^2/6則波動總成本下降,生產者有盈餘