從需求到價格: Inter-sector input output analysis

從需求到價格(From demand to price): Inter-sector input output analysis

假定:
單位商品(半成品)有n種其總產出單位數 X1 X2 X3 ..... Xn
市場價格P1.....Pn
單位製程有m種其總使用單位數 Y1 Y2 Y3 ..... Ym
分別形成 (n x 1) 之 X及P矩陣 和 (m x 1) 之 Y矩陣

單位製程j 使用各種原料i之量Aij Xi 生產出各種i之量Bij
分別形成 (n x m) 之 Aij 和 Bij矩陣

A11 A12..A1j...A1m
A21 A22..A2j...A2m
.....
Ai1 Ai2..Aij...Aim
.....
An1 An2..Anj...Anm

可計算出總產出X=BY 總耗用 AY
得出(n x 1)之盈餘需求矩陣D = (B-A)Y = X-AY 供資本投入及終端消費使用
各單位製程之成本矩陣 (A')P 收入矩陣 (B')P
價差(附加價值value added)矩陣 V = (B'-A')P = ((B-A)')P皆為(m x 1)

關於D = (B-A)Y
由於不同製程可產生相同產品(不同飼料都可以養豬),
同一製程也可產生不同副商品(如一頭豬不同部位可以分售)
即使同樣之需求D矩陣,同樣之產出B及耗用A矩陣可能有不同之Y會符合
但生產者會傾向價差(附加價值)較低之製程
而同樣製程若價差越大,如同供應曲線一般.生產者也會傾向執行更多單位該製程
此彈性關聯會反映在製程使用矩陣Y與價差矩陣V之間
假定此彈性關聯如電路中之電阻倒數一般,係數分別為C1,C2.....,Cm
形成(m x m)之製程意願矩陣C  (若製程m耗用及產出皆放大3倍,Cm應變1/9Cm)
C1  0 .... 0
 0 C2 .... 0
....
 0  0 ....Cm
而使 Y = C V
代入前面2式
D = (B-A)Y = (B-A) C V = [(B-A) C ((B-A)')]P
價格矩陣 P = [(B-A) C ((B-A)')]^(-1) D
在已知各製程耗用及產出和生產者製程意願下,由市場需求量可以解出各商品價格

如同電路一般,並聯時電流會傾向走電阻較小的路徑,但電阻較大的路徑仍會有電流,
價格(Price)相當於電動勢(Voltage),貨物流量相當於電流(current),
而最終消費者的需求(demand)相當於電池(battery)賦予各種商品價格與電動勢


當然該關聯矩陣C可能會有不同模式如毛利率或總獲利......
特殊形態: 當每種商品只有唯一製程,製造過程亦不產生副商品時,
m=n使A和B成為(n x n)方陣