經濟筆記

(一)梭羅模型-1

令生產函數 f=cK^a L^b, 儲蓄(投入資本)比例s 資本衰減率 j
K'(t) = sf - jK = scK^a L^b - jK
生產盈餘Y=(1-s)cK^a L^b

最大K值時 scK^a L^b = jK ; K= (sc/j L^b)^(1/(1-a))
生產盈餘Y=(1-s)c K^a L^b = (1-s)c(sc/j L^b)^(a/(1-a)) L^b
= (1-s)s^(a/(1-a)) c^(1/(1-a)) L^(b/(1-a)) /j^(a/(1-a))
當Y'(s)=0 => -f + (1-s)[a/(1-a)]f/s =0
=> (1-s)a/(1-a)/s=1 => s=a
儲蓄率為a時有最大盈餘Y= (1-a)a^(a/(1-a)) c^(1/(1-a)) L^(b/(1-a))/j^(a/(1-a))

K(t)隨時間之變化:
dK/dt +jK = scK^a L^b
=> (1-a)scL^b = (1-a)K^(-a)dK/dt + (1-a)jK^(1-a) = d(K^(1-a))/dt + (1-a)jK^(1-a)
令K(t)^(1-a)=G(t) =>  dG/dt + (1-a)iG = (1-a)scL^b
d(G-scL^b/j)/dt + (1-a)j(G-scL^b/j)=0
=> G(t)= Xe^((a-1)jt) + scL^b/j (X為常數)
K(t)=G(t)^(1/(1-a))= (Xe^((a-1)jt) + scL^b/j)^(1/(1-a))
又t=0時K0=(X + scL^b/j)^(1/(1-a)) => X= K0^(1-a)-scL^b/j
K(t)= (K0^(1-a)e^((a-1)jt) + scL^b/j(1-e^((a-1)jt)))^(1/(1-a))
f(t)=  cL^b (K0^(1-a)e^((a-1)jt) + scL^b/j(1-e^((a-1)jt)))^(a/(1-a))
(若K0接近0,當a>0.5時a/(1-a)>1此時f(t)存在凹凸轉折點t=ln(a/(1-a))/[(1-a)j]使f''(t)=0
於該處達最大成長f'(t))

當a<1,t->無限大 => K= (scL^b/j)^(1/(1-a))
預找出s=1下達最佳K(該時s=a)之時間t
=> (Xe^((a-1)jt) + cL^b/j)^(1/(1-a))=(acL^b/j)^(1/(1-a))
=> e^((a-1)jt) =(a-1)cL^b/j / (K0^(1-a)-acL^b/j) = (1-a)/(a-(j/(cL^b))K0^(1-a))
t= [ln(a-(j/(cL^b))K0^(1-a))-ln(1-a)]/(1-a)


(二)梭羅模型-2

當生產函數f未知 儲蓄(投入資本)比例S 資本衰減率j
K'(t) = Sf - jK 生產盈餘Y=(1-S)f

K達最大時K'=0 => Sf - jK =0 =>  d (lnS + lnf - lnK)= d lnj =0
=> d(lnS) = (dlnK/dlnf - 1) d(lnf)
當Y'=0 => d (ln(1-S) + lnf)=0 => [-S/(1-S) dlnS] + d(lnf) =0
=> d(lnS) = (1/S -1) d(lnf)

合併兩式 S=d(lnf)/d(lnK)  (d(lnf)/d(lnK)為邊際資本生產彈性)
=> 當 S=K/f df/dK 時, 生產盈餘Y可得最大值

(帶入f=cK^a L^b則可得 S=a)

(三)梭羅模型與人口及技術成長

若勞力成長率g, L=L0 e^(gt)
K(t)=(X e^((a-1)jt) + sc/(j+bg/(1-a)) L0^b e^(bgt))^(1/(1-a))

又若技術成長率n, C=C0 e^(nt)
Y=CK^aL^b=(C0L0^b)e^[(n+bg)t] K^a
dK/dt=sY-jK=(sC0L0^b)e^[(n+bg)t] K^a-jK
dK^(1-a)/dt=(1-a)K^(-a) dK/dt=(s(1-a)C0L0^b)e^[(n+bg)t]-(1-a)jK^(1-a)
令U=(s(1-a)C0L0^b),V=(1-a)j
dK^(1-a)/dt+VK^(1-a)=U e^[(n+bg)t]
d[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]/dt+V[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]
=dK^(1-a)/dt+VK^(1-a)+[-w(n+bg+V)]e^[(n+bg)t]
=U e^[(n+bg)t]-w(n+bg+V)e^[(n+bg)t]=[U-w(n+bg+V)]e^[(n+bg)t]

當w=U/(n+bg+V)=(sC0L0^b)/(j+(n+bg)/(1-a))時,
d[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]/dt+V[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]=0
[K^(1-a)-we^[(n+bg)t]=Xe^(-Vt) (X為常數)
則K(t)=[Xe^(-Vt)+we^[(n+bg)t]]^(1/(1-a))
K(t)=[Xe^((a-1)jt)+(sC0)/(j+(n+bg)/(1-a)) L0^b e^[(n+bg)t]]^(1/(1-a))
(以(n+bg)及C0取代無技術成長時bg及C即可)

Yk=(aC0L0^b)e^[(n+bg)t] K^(a-1)=a/[X1 e^(-(n+bg+(1-a)j)t)+s/(j+(n+bg)/(1-a))]
當t非常大且a+b=1時,Yk=a/[s(j+(n+bg)/(1-a))]=a/[s(j+n/b+g)]

圖化算式:

人口成長率g的固定規模報酬函數:

crtzengweb@gmail.com